np - 198因 数 分 解 の 公 式
① ( x + y ) ( x - y ) = x 2 - y 2
② ( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2
③ ( x - y ) 2 = x 2 - 2 x y + y 2
④ ( x + y ) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3
⑤ ( x - y ) 3 = x 3 - 3 x 2 y + 3 x y 2 - y 3
⑥ x 3 + y 3 = ( x + y ) ( x 2 - xy + y 2 )
⑦ x 3 - y 3 = ( x - y ) ( x 2 + xy 2 + y 2 )
⑧ ( x + y + z ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2 ( x y + y z + z x )
⑨ x 3 + y 3 + z 3 - 3 x y z
= ( x + y + z ) ( x 2 + y 2 + z 2 - x y - y z - z x )
今 か ら ７ ０ 年 も 前 、 私 が 高 校 生 の 頃 の に は ⑧ と ⑨ はなかつた と 思 い ま す
勉 強 し た 記 憶 が な い
最 近 の 大 学 入 試 で 論 証 問 題 が 出 る こ と が あ り ま す
京 大 理 系 の 数 学 入 試
x + y + z = a x 3 + y 3 +z 3 = a 3
x y z の 内 少 な く と も 一 つ は a で あ る こ と を 証 明 せ よ
論 証 問 題 は あ ら か じ め 答 え が 分 か つ て いる 問 題 が 成 立 すること を 証 明 す る 問 題 です
◆ x y z の ど れ か 一 つ が a で あ れ ば 他 の 二 つ は b ・ - b で あ る
a + b - b = a a 3 + b 3 - b 3 = a 3
等 式 は 成 り 立 つ が 回 答 に は な ら な い
◆ x y z の 内 少 な く と も 一 つ は a で あ る こ と い う こ と は
( x - a ) ( y - a ) ( z - a ) = 0
こ れ は 、 因 数 分 解 の 問 題 で す
( x - a ) ( y - a ) ( z - a ) =
x y z - a ( x y + y z +z x ) + a 2 ( x + y + z ) - a 3
= a ↑
= x y z - a ( x y + y z + z x ) + a 3 - a 3
= x y z - a ( x y + y z + z x ) ⇔ ( 右辺 ) = 0
ここで x y z ＝ a ( x y + y z + z x ) であることを 証 明 する 必 要 がある
x 3 + y 3 + z 3 = ( x + y + z ) ( x 2 + y 2 + z 2 )
- ( x + y +z ) ( x y + y z + z x )
一 方 、 三 次 式 の 因 数 分 解
( 三 次 式 ) = ( 一 次 式 ) ( 二 次 式 )
x 3 + y 3 + z 3 - 3 x y z = ( x + y + z ) ( x 2 + y 2 + z 2 - x y - y z - z x )
x 3 + y 3 + z 3 を x + y + z で 割 る と
x 3 + y 3 + z 3 = ( x + y + z ) ( x 2 + y 2 + z 2 - x y - y z - z x ) + 3 x y z
x 2 + y 2 + z 2 の 因 数 分 解
x 2 + y 2 + z 2 を x + y + z で 割 る と
x 2 + y 2 + z 2 = ( x + y + z ) 2 - 2 ( x y + y z + z x )
x 3 + y 3 + z 3 = ( x + y + z ) 【 ( ( x + y + z ) 2
- 2 ( x y + y z + z x ) ) - x y - y z - z x 】 + 3 x y z
= ( x + y + z ) 【 ( ( x + y + z ) 2 - 3 ( x y + y z + z x ) ) + 3 x y z
= a ( a 2 - 3 ( x y + y z + z x ) ) + 3 x y z
= a 3 - 3 a ( x y + y z + z x ) + 3 x y z
x 3 + y 3 + z 3 = a 3 だ か ら x 3 + y 3 + z 3 - a 3 = 0
x 3 + y 3 + z 3 - a 3 = a 3 - 3 a ( x y + y z + z x ) + 3 x y z - a 3 = 0
= - a ( x y + y z + z x ) + x y z = ０
し た が つ て 、 x y z = a ( x y + y z + z x ) と
証 明 で き ま し た
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参 考
( x + y + z ) 2 ( x 3 + y 3 + z 3 ) 等 の 因 数 分 解 は
( ) の 中 が ３ 項 あ る の で 展 開 し に く い そ こ で x + y = A と 置 き 換 え て
( A + z ) 2 = A 2 + 2 A z + z 2
因 数 分 解 の 公 式 ② と 同 型 と な つ て 扱 い や す く な る
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