　　★　　　マクスウェル　の　方程式　　　　　　Wikipedia

　　　　　　　　●　　①　　div D　 = 　∇. D ( t .x )　 =　 ρ ( t . x )　　　　　　　　　　　 ガウス　の　法則

　　　　　この式の意味　　　①　電荷 ( 密度 ) ( $ρ$ ) が存在したとき、発散 ( $d i v$ ) するように　電場　 ( 電束密度 ) 　 ( $D$ Ｄ　)　が生まれる

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　ここで、 $ρ$ 　は、電荷密度（単位は C/m³）。 $D$ 　は　電束密度　（単位は C/m²）で、

　　　　　　　「線形な物質中」では　 $D = ε E$ 　の関係がある（ $E$ ) は電場の強度、 $ε$ は誘電率）。

　　　　　　　電場が非常に強くない限り、どんな物質も　「線形」　なものとして扱うことができる。

　　　　　　　上の式は、電束は電荷の存在するところで発生・消滅し、それ以外のところでは保存されることを意味している。
　　　　
　　　　　　　真空の誘電率は $ε 0$ と書かれ、次の式で表される。　　　　電荷密度と電場（マクスウェル . ガウスの式）

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　　　　　　　　●　　②　　rot E + ∂ B / ∂ t 　= 　∇× E ( t. x ) + ∂ B ( t . x ) / ∂ t 　= 　0　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　ファラデー　の　電磁誘導
　　　　　　　この式の意味　　　② 　磁束密度 ( $B$ ) の時間的変化 ( ∂ / ∂ t $\frac{\partial}{\partial t}$ ) が、右ねじと反対方向 ( $- r o t$ ) に電場 $E$ ) を生む

　　　　　　　　　　　　　　　　電磁誘導　　　コイル　に　磁石　を　動かすと　電流が流れる　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　ちなみに、これは磁石を動かしていないと意味がなくて、コイルの中に磁石をおいても、動いていなかったら、決して電流は流れません
　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　これを式で表すと　rot E = - ∂B / ∂t　となる訳です　　　

　　　　　　　式を　変形すると　　∂ B / ∂ t =　ｰ rot E　　左辺にあるのは、磁束密度 ( $\vec{B}$ ) が時間的変化　( ∂B / ∂t $\frac{\partial}{\partial t}$ ) をすることを示しています
　　　　　　　そしてそれに対応するように、右辺では右ねじの反対方向 ( $- r o t$ 　に　電場( $E$ )　が生じる
　　　　　　　rot $r o t$ は右ねじ方向の回転を表すのでした。これにより生じた $E$ が、電子があればそれに作用し、電流を流すということです。

　　　　　　　　　　　　　　　　　

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　　　　　　　　●　　③　　div B 　=　 ∇　・　Ｂ ( t . x ) 　=　 0　　　　　　　　　　　　磁場に関する ガ　ウス　の法則

　　　　　　
　　　　　　この式の意味　　　③ 　磁荷というものは存在しない ( 磁束密度( $B$ B ) 　は、発散 ( div )　しない　( 0 )

　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　

　　　　　磁石は　２つに切つても　N 　S 　ができる　　　　N 　だけ　S　だけの　単極磁石　は　存在　しない

　　　　　N 　極　から　放出　した　磁束　は　　S　極　に　流入　して　　+　ー　　ゼロ　となる　　　　発散　はない　0

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　　　　　　　　●　　④　　rot H - ∂ D / ∂ t 　= 　∇ × Ｈ　（ t . x ） - ∂ D ( t . x ) / ∂ t 　=　 i 　( t . x )　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　アンペール .　マクスウェル　の方程式

　　　　　　　この式の意味　　　④　電流 ( $i$ i ) と、電場 ( 電束密度 ) ( $D$ ) の時間的変化 ( $\frac{\partial}{\partial t}$ ) が、右ねじの方向 ( $r o t$ rot ) に磁場 ( $H$ )　を生む

r o t \vec{H} = \vec{i}

$r o t \vec{H} = \vec{i}$ $r o t \vec{H} = \vec{i}$ i 　までは　アンペールが見つけ、その後 $\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$ 　の部分をマクスウェルが追加して、より正しく普遍的に成り立つようにしました。

　　　　　　　　まず　アンペール　の法則について説明すると、 $r o t \vec{H} = \vec{i}$ は　rot E = - $r o t \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ 　似ていますよね。 $B$
　　　　　　　　rot E = - $r o t \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ 　が時間的に変化 ( $\frac{\partial}{\partial t}$ ) するとき、その反時計回り ( - $- r o t$ ) に電場 ( $E$ ) が生じるというものでした。

　　　　　　　　よって　 $r o t \vec{H} = \vec{i}$ は、「電流 ( 密度 ) (　i ) が流れたとき、その周りの時計回り ( rot $r o t$ ) に磁場　( $H$ )　が生じる」　という意味です

　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　
$\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　コンデンサーの極板間は、直接つながっていないので、そこを電流 ( 密度 ) が流れることはありません。
　　　　　　　　　　　　しかし電源を調整することで、　その間の電場、電束密度 $D$ を変化させることはできます。

　
　　　　　　　　　　　そして実験によると、この電場の時間的変化は、その周りの時計回りの方向に磁場を生じさせることが

　　　　　　　　　　　　　　　　分かりました

　　　　　　　　　　　　　これは式で言うと　　rot H 　=　 $\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$ $\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$ $r o t \vec{H} = \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$
　　　　　　　　　　　つまり直接的に電流 ( 密度 ) (　 $i$ ) が流れていなくても、その間の空間の電束密度 ( D ) $D$ の時間的変化 ( $\frac{\partial}{\partial t}$ ) は、

　　　　　　　　　　　まるで電流が流ているかのようにふるまい、

　　　　　　　　　　　そして右ねじの方向に ( rot ) 磁場 ( $H$ H ) を生じさせるということです
　　　　　　　　　　　　　

$\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$ は「変位電流」と呼ばれます。これは実際に電流が流れているわけではなく、あたかも電流が流れているようにふるまっているというところに

　　　　　　　　　　　　注意してください。

　　　　　　　　　　　　基本的に、 $i$ 　による寄与の方が大きいのですが、この影の薄い変位電流　が、電磁波というものを予言します。

　　　　　　　　　　　　　　すごく考え深く、超ワクワクするところです。　　　　　　　以上が、マクスウェルの方程式の解説になります

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　　★　　　　『図　解』　電磁気学の本質であるマクスウェルの方程式

　　★　　　　『付　録』

　　　　　　　　●　　　発　散

　　　　　　　　　　　　日本語　文例　　　　　ストレス　を　溌　散　する

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　この時の　発散　は　減らす　減少する　消す

　　　　　　　　　　　英語　文例　　　　　　I sometimes need to relieve ( reduce ) stress .

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　時にはストレスを発散することが必要だ

　　　　　　　　　　　　科学　の　世界　　　　数学　　　物理学

　　　　　　　　　　【数学】　　　　　div 【物理のかがしつぽ】

　　　　　　　　　　　　発　散　　　Divergence　　 ( div A 　　または　　　　∇ .. A )　　　　∇　ナブラ
　　　　　　　　　

　　　　　スカラー場の勾配を考えたとき，ベクトル微分演算子　 $\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x_{1}},\frac{\partial}{\partial x_{2}},\frac{\partial}{\partial x_{3}} \right)$ 　というものを導入しました．

　　　　　そして，この $\nabla$ をスカラー関数に作用させたものを勾配（ ${\rm grad}$ ）と呼びました．

　　　　　 $\nabla$ をベクトル関数と内積を取る形で作用させたものを 発散 　と呼びます．英語で発散をと言うので，

　　　　　　　　　　記号 ${\rm div}$ を使う場合もあります．

　　　　　　　　div A - ∇. A = ∂ A₁/∂ x₁ + ∂ A₁/∂ x₁ + ∂ A₁/∂ x₁

　　　　　ただし、式中　　　としました

　　　　　単に $\nabla$ とベクトルの内積になっているだけなので，計算が特に難しいということは無いと思います　　　　　

　　　　　　　　　　　図解　説明　で　発散　の　イメージ　を　詠み取り　ます

　　　ここでは，デカルト座標系を考えます．ベクトル場が，点において $\bm{A}(x,y,z)$ と表現されるとき，を一つの頂点に，各辺の長さが $\Delta x,\Delta y,\Delta z$ の直方体領域を考えます．

　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図　ー　A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図　ー　B

　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図　ー　C　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図　ー　D

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図　ー　E

　　　　　　　　　　　　　　　　　　図　　ー　　C　. 　D　.　 E　　　は　　別　資料　からの　　div 　の　イメージ　図　　です

　　　　　　　　以下　　　　図　ー　A 　B　　に　従つて　説明　します

　　　　　ベクトル場を，水（非圧縮流体）の流れだと考えると状況がイメージしやすいでしょう．この直方体領域は流れの中に置かれていますから，

　　　　　絶えず水が流れ込んだり出て行ったりしています

　　　　．しかし，水は非圧縮流体だと仮定していますので，普通なら，入ってくる水量と出て行く水量は同じはずです．

　　　　　ところが，もしこの領域内に"温泉の湧き出し口"のように，絶えず水を噴出している穴が空いているとすれば

　　　　　込んでしまう排水口のような穴が空いているとしたら，流入する水量の方が多くなりそうです．こうした点を 湧き出し ， 吸い込み と呼びます
　　　　

　　　　例として，軸方向に流入する量と流出する量の差を考えてみます．図のように，頂点付近に単位面積当たり流入する流体の量は $V_{x}$ で表わされ，
　　　　
　　　　頂点付近では　 $V_{x}+\frac{\partial V_{x}}{\partial x}\Delta x$ 　と表わされます．その差は　 $\left( V_{x}+\frac{\partial V_{x}}{\partial x}\Delta x \right) - V_{x}= \frac{\partial V_{x}}{\partial x}\Delta x$ 　です

　　　　ここまでは偏微分を定義通りに使っただけです．面倒なのは，正確に表現しようとすると『方向への変化』されも，軸や軸に沿って変化することです．つまり，

　　　　頂点付近で方向の流入流は $V_{x}+\frac{\partial V_{x}}{\partial y}\Delta y$ 　と表現され，さらに付近ではこの値の方向への変化を考え，流出流は次式のように表現されることになります．

　　　　（ここで図に全て書き込むとごちゃごちゃしますので描きませんでした．大事なところですので，自分で似たような図でも描いて，しっかり考えてみて下さい．）
　　　　

　　　　　　　　　　　　 $V_{x}+\frac{\partial V_{x}}{\partial y}\Delta y + \frac{\partial}{\partial x}\left(V_{x}+ \frac{\partial V_{x}}{\partial y} \Delta y \right) \Delta x = V_{x}+\frac{\partial V_{x}}{\partial y}\Delta y +\frac{\partial V_{x}}{\partial x}\Delta x + \frac{\partial^2 V_{x}}{\partial x \partial y} \Delta y \Delta x \tag{2}$ 　
　　　　
　　　　　ここで，直方体領域は十分に小さいとすれば，方向の流れは "ほぼ一様"だと考えて，二次の変化量（右辺第三項）を無視できます．結局，頂点付近での流量の差は

　　　　　　 $\left( V_{x}+\frac{\partial V_{x}}{\partial y}\Delta y \right) - \left( V_{x}+\frac{\partial V_{x}}{\partial y}\Delta y +\frac{\partial V_{x}}{\partial x}\Delta x \right) = \frac{\partial V_{x}}{\partial x}\Delta x$ と近似できることになります．これは頂点付近の流れと同じになります．方向に関しても同様に

　　　　　　 $\left( V_{x}+\frac{\partial V_{x}}{\partial z}\Delta z \right) - \left( V_{x}+\frac{\partial V_{x}}{\partial z}\Delta z +\frac{\partial V_{x}}{\partial x}\Delta x \right) = \frac{\partial V_{x}}{\partial x}\Delta x$ が言えますから，結局，面に流入する流体と，面から流出する流体の差は，

　　　　　　　　　　　単位面積あたり　 $\frac{\partial V_{x}}{\partial x}\Delta x$ 　と書いてしまって良いことになります

　　　　微小直方体領域で，軸方向に『流出した量流入した量』を，軸方向や軸方向への二次的な変化を無視すると，単位面積あたり　 $\frac{\partial V_{x}}{\partial x}\Delta x$ 　と表わせる
　　　　

　　　　ここで軸方向の流れだけを考えて『流出した量流入した量内部で湧き出した量』と考えてしまっては早計です．

　　　軸方向や軸方向からの流体の出入りも考慮しなければならないからです．しかし，もし全方向で『流出した量流入した量』を考えれば，

　　　　
　　　　これは『内部で湧き出した量』に等しくなります．

　　　　この直方体の軸方向の断面積（上図の四角形の面積）が $\Delta y \Delta z$ であることに注意すると，軸方向の流量の差　 $\frac{\partial V_{x}}{\partial x}\Delta x \Delta y \Delta z$ 　と表わされます．

　　　　同様に，軸方向の流量の差は　 $\frac{\partial V_{y}}{\partial y}\Delta x \Delta y \Delta z$ 　，　軸方向の流量の差は　 $\frac{\partial V_{z}}{\partial z}\Delta x \Delta y \Delta z$ 　となり，この直方体全体から流出する流量はこれらを足して次式になります．

　　　　　　　　　　 $\frac{\partial V_{x}}{\partial x}\Delta x \Delta y \Delta z + \frac{\partial V_{y}}{\partial y}\Delta x \Delta y \Delta z + \frac{\partial V_{z}}{\partial z}\Delta x \Delta y \Delta z \tag{3}$

　　　　　最後に，これを直方体の体積　 $\Delta x \Delta y \Delta z$ 　で割れば， 単位体積当たりの　湧き出し量 　の表式を得ます．これは，もうお気づきのように div V　　になっています

　　　　　　　　　単位体積当たりの　湧き出し　は　 ${\rm div}\bm{V}=\frac{\partial V_{x}}{\partial x}+\frac{\partial V_{y}}{\partial y}+\frac{\partial V_{z}}{\partial z}$ 　で表わされます．

　　　　　ベクトル場 $\bm{V}$ が水の流れ以外のベクトル場であっても，流れの物理的意味は少し異なるかも知れませんが，

　　　　　基本的には『単位体積当たりの流れの増減』を表わすのが発散だと考えることができます．

　　　　　このようなイメージを持っていれば，　電磁気学　で　電場　や　磁場　といった目に見えない場の計算に　div 　が出てきても，慌てることは無いと思います

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　　　　　　●　　　回　転　　　Rotation　　 Curl

　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　【物理学】　　　電磁気学　マクスウエル　の　方程式　に　出てくる　発散　div 　ダイバージェンス

　　　　　　　　　　　

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