　　　　　　　整数　問題　は　論証問題の中で　整数を扱うもの　

　　　　　　中学　高校時代に　この　言葉で　勉強した記憶　がない

　　　　　　興味半分に　理解しやすい　問題を拾って　載せました

　　　　　　　　　　　東京女子大　入試　数学　問題　　２００６

　　　　　　(1)　　 a . b . c 　　が　整数で、　1　≦　a　≦　b　≦　c 　かつ　a b c = a + b + c　のとき

　　　　　　　　　　　　　　　　　a b 　≦　3 　である　ことを　示せ

　　　　　　(2)　　　1　≦　a　≦　b　≦　c　かつ　a b c = a + b + c　を満たす

　　　　　　　　　　　　　　　　　　a . b . c　　を　すべて求めよ

　　　　　　　　　　　回　答

　　　　　　(1)　　　　　1　≦　a　≦　b　≦　c 　かつ　a b c = a + b + c　　より

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　a b c = a + b + c ≦ c + c + c = 3 c　がなりたつので

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　a b c ≦ 3 c 　　となる　

　　　　　　　　　　　　c 　は　整数　なので　両辺を　c　で割っても　不等号は不変だから

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　a b ≦ 3 　　が　成り立つ

　　　　　(2)　　　1　≦　a　≦　b　≦　c　　　が　　　　a b ≦ 3　　より

　　　　　　　　　　 ( a . b ) = ( 1 . 1 ) ( 1 . 2 ) ( 1 . 3 )　　のいずれかである

　　　　　　　　　　　　　　　a b c = a + b + c　　より

　　　　　　　　　　( a . b ) = ( 1 . 1 )　　　のとき　　c = 2 + c　　で　不適

　　　　　　　　　　( a . b ) = ( 1 . 2 )　　　のとき　　2 c = 3 + c　　より　c = 3　　OK

　　　　　　　　　　( a . b ) = ( 1 . 3 )　　　のとき　　3 c = 4 + c　　より

　　　　　　　　　　　　2 c = 4 　から　c = 2　　( b ＞ c　となっているので　不適 )

　　　　　　　　　　　　　　　ゆえに　　( a . b . c ) = ( 1 . 2 . 3 )　　となる

　　★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

　　　　