球 の 表面積 と 体 積

　　s - 31

H 25 05 07 Up

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　２０１８　１　１６　　Ｉｎｐｕｔ　Ｔｅｓｔ


　　　暇つぶし の 数学 お遊び、中学　高校時代 の 数学 の 復 讐 もまた楽 しい。　　頭 の 体操　認知症 予 防


　　　　　　　球 の 面 積 と 体 積 を求めるのは先に 体 積 を求める方法 を 理 解する のがよさそうです。


★　 　　 球 　　　の 　体 積　 の 求 め 方 　　


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　図　-　1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図　−　2

　　　　図 - 1 半 球 の体積、円 柱 の体積、円柱から 円錐 を切り取った 体積、と 円 錐 の体 積を 比 較 します


　　　　　■　　半 球 の 体 積　 = 　(2/3) π r^{3　　　　球 の 体 積　は　2 倍 の　　　(4/3) π r3}

　　　　　　　図 - 2　で 示 す ように、　底 面 より 高 さ　x の 断 面 の 円 の 面 積 は　　π ( r² - x² )

　　　　　　　　　　　　　　従って、　半 球 の 体 積　は 積 分 して
　
　　　　　　　　　　　V= 　∫₀ ^r　π ( r^{2 -} x² ) dx = π〔 r² x - (1/3) x³ 〕 ₀ ^r
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　= π r³ - (1/3) π r³ 　=　 (2/3) π r<sup>3

　　　　　　　　　球　は　　2　倍 し て　　 　(4/3) π r3　　 　　( 身 に 心 配 あるので 参 上 )　　と 覚 え る</sup>


　　　　　■　　円 柱 の 体 積 = 底 面 積　×　高 さ　= π r² × r = π r³


　　　　　■　　円 柱 から 円錐 を切り取った体 積 = π r³ - (1/3) π r³ = 　(2/3) π r³ 　= 半 球 の 体 積

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ガバリエ の 定 理

　　　　　　　　　　２ っ の 立 体 を、平 行 な 平 面 で切ったときの 切　り　口　の 面 積 がいつも 等しければ、

　　　　　　　　　　　　　　　　２ っ の 立 体 の 体 積 は 等しい。

　　　　　　　　　　図 - 2　で　半 球 の 赤 線 の 断面積 と 円 柱 の 赤 線 の 断 面 積 はともに、　π ( r² - x² )


　　　　　■　　円 錐 の 体 積　 =　 (1/3) π r³　　　　　　　　　( 詳 細 説 明　証 明 は　後 で )



★ 　 　錐 体 　　の 　　体 積　　V 底 面 積 が S　高さ が h のとき　V = (1/3) S h　であることの 証 明　





　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1) は 底 面 積　S　高 さ　h　の 3 角 柱

　　　　　　　　　　　　　　　この 3 角 柱 は　(2)　 (3)　 (4)　の　3 個　3 角 錘

　　　　　　　　　　　　3 角 柱　の　体 積 は　　　V = S h 　　　3 角 錐 の 体 積 は 　　V₃ = (1 / 3) S h


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学 問 的 には ガバリエ の 定 理 があります
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　【カヴァリエリ の 原 理 】　　Wikipedia　より　一部 を コ ピー

　　　　　　　　　カヴァリエリ の 原 理 （カヴァリエリのげんり、Cavalieri's principle） は、面 積 や 体 積 に 関する

　　　　　　　　一般的な 法 則 のひとつである。カヴァリエリ の 定 理、不可分の方法 (method of indivisibles)

　　　　　　　　例えば 体 積 についての カヴァリエリ の 原 理 とは、大まかには　 「切り口の面積が常に等しい2つの

　　　　　　　　立体の体積は等しい」という 主 張 である。　　　カヴァリエリ は 17世紀 のイタリア の 数 学 者。
　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　球 の 体 積 　　[編 集]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　2 つ の 立 体 の 切り 口 （ 青 い 部 分 ） は 　面 積 　が 等しい。

　　　　 　　錐 体 の 体積 が柱 体の体 積 の 1/3 であることを知っていれば、カヴァリエリ の 原 理 より

　　　　　　　球 の 体 積 を求める ことができる。

　　　　　　　図のように、半径 r の半球 A および、半径 r の円が底面で高さ r の 円 柱から

　　　　　　　　円 錐をくりぬいた立体 Bを考える。このとき、高さ c における A の切り口と B の切り口の面積は

　　　　　　　等しい　実際、A の切り口は、ピタゴラスの定理 より、半径が r² - c² の 平方根 である円であるから、

　　　　　　　その 面 積 は π(r² - c²) であり、B の切り口は、半径 r の円から半径 c の 円を除いたものであるから、

　　　　　　　　　　やはり 　面 積 は 　　π(r² - c²)　　 である。

　　　　　　　　よって、　カヴァリエリ の 原理 より A の 体 積と B の 体 積 は等しい。B の体積は、πr³ - πr³/3 で

　　　　　　　　あるから、半　径 　r 　の 球 の 体 積 はその 2 倍 で 　　4πr³ / 3 　　と 求まる。

★　　　円 錐　　の　体 積　の 求め 方

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図ー１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図ー2
　　　　　　

　　　　　■　　図　- 1　を使って、 円 錐 の 体 積 を 求める　

　　　　　　　　　　　　錐 体の体 積 は　底面積　S　高さ　h　とすると　V = (1/3) S h 　であることは 説 明 済 です

　　　　　　　　　　　　　図ー1　の 円 錐 に 黄色 の 扇状錘 を 10個 一 杯 に 詰 め たと仮定します。

　　　　　　　　　　　　扇状錘 の 底 面 は 2 辺 が　r　 円 弧 が　θ = (2 π r) / 10

　　　　　　　　　　　　　　　　　従って 底面積 は　　S₃ =　 (1/2) r² θ　=　(1/2) r² (2π/10) = πr² / 10　となる

　　　　　　　　　　　　　　結局、扇状錘　10 個　詰めたのだから　S₃　×　10 = ( / 10) 10 = πr² = S

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　V = (1/3) S h


　　　　　　■　　図　- ２　を使って、　区 分 求 積　で 求める

　　　　　　　　　　　　　円 錐 の 体 積　を求めるために、これに内接するそれぞれの　高さ　L / N　の　N - 1 個　の

　　　　　　　　　　　　　円 柱 に 分 割 して 体 積　を近 似 的 に求める。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　ここで、　N = 10　とすると

　　　　　　　　　　　　　　　V_in = (L/10)π (R/10) ² + (L/10) π (2 R/10) ² +・・・・+ (L/10) π (9 R/10) ²

　　　　　　　　　　　　　　　　 = (L/10) π (R/10) ² ( 1 + 2² + 3² + ・・・・ + 9² )

　　　　　　　　　　　　　　　　 = (1/10³) π R ² 285 　≒ 　0.29 L π R ² =0.29 SL ≒ (1/3) S L


　　　　　　　　　　　　　同 様 に、外 接する 円 柱 に 分 割 して 体 積　を 近 似 的 に求める。

　　　　　　　　　　　　　　　V_out = (L/10)π (R/10) ² + (L/10) π (2 R/10) ² +・・・・+ (L/10) πR ²

　　　　　　　　　　　　　　　　　 　= (L/10) π (R/10) ² ( 1 + 2² + 3² + ・・・・ + 10² )

　　　　　　　　　　　　　　　 　　　= 　(1/10³) L π R ² 385 　≒ 　0.39 L π R ² =0.39 S L ≒ (1/3) S L

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(V_in　+V_out) / 2 = ( 0.29 + 0.38 ) / 2 ≒ 0.34≒ 1 / 3

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　N 　を　∞　にすれば　　　　V = (1/3) S h　　に　収 束　する

　　　　　■　　積 分　で　求 め る

　　　　　　　　　　　　　　　　定 積 分 と 体 積

　　　　　　　　　　　　座標空間中の、 a　≦ z ≦ b　の範囲に置かれた立体図形を x y 平面に平行な平面 z = t で

　　　　　　　　　　　切断 したときの 断 面 積 　S (t) とすると、この立体図形の 体 積 は、　　V = ∫_a ^b S (z) dz

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　 a　≦ z ≦ b　の範囲をn 等 分 し、�凛 = (b - a) / n ， k = 1、 2、 3 ・・・ ・n として、平面 z = a + k ・�凛 で

　　　　　　　　　立 体 図 形 を 切 断　したときの　断 面 積 は　　S (a + k �凛) 　です。

　　　　　　　　　このときの 切 断 面 を 底 面 とし、高 さ�凛 の 柱 体 Pk を考えると、Pk の体 積 は、

　　　　　　　　　　　　　　　S (a + k �凛)　　で 与えられます。

　　　　　　　　　P₁、 P₂ ・・・・　Pn の 体 積 の総 和 ： は、の 極 限 で 立 体 の 体 積　V 　に 近づきます。

　　　　　　　　　よって、区分求積法 により、　V = lim_n→∞ Σ_k=1 ⁿ _{S (a + k �凛) �凛 = V = ∫a ^b S (x) d}x



　　　　　　　　例　1．　半 径r 　の 円 を 底 面 とし、高 さ　h　の円 錐 の 体 積 を求 める。


　　　　　　　　[解答]　　　底 面 の円 が x y 平 面 上 に 置 か れ ているとして考えます。

　　　　　　　　平 面 　z = t で 円 錐 を切ったときの 断 面 の 円 の 半 径 を r ´ として、r ：r ´ = h ： (h - t)

　　　　　　　　　　　　　　　　　∴　r ´ = 【 (h - t) / h 】 r

　　　　　　　　　断 面 の 円 の 面 積 は、　　S (t) = π 【 (h - t) / h 】² r ²

　　　　　　　　よって、円 錐 の体 積 は、　　V = ∫₀ ^k 　S (z) dz= ∫₀ ^k π 【 (h - z) / h 】² r ² dz

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 = 【 (π r²) / h² 】 ∫₀ ^k (h² - 2 h z + z²) dz

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 = 【 (π r²) / h² 】 【h²z - hz² + (1/3) z³】₀ ^k

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 = 【 (π r²) / h² 】 【h³ - h³ + (1/3) h³ 】

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 = 　　　(1/3)　π r² h

　　
　　　　　　　　円 錐 に限らず、底面積S ，高さ h の 錐 体 では、 平面 z = t で 切 断 したときの 断 面 積 が

　　　　　　　　【 (h - t) / h 】² S　で与えられるので、上記と同 じように 積 分 して、錐 体 の 体 積　は　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　V 　=　 (1/3) π r ²h = (1/3)　 Sh　　なります。


★　　　 球　 　の 　表面 積 　の 求 め 方


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　図　-　1　　　　　　　　　　　　　　　　　図　-　2　　　　　　　　　　　　　　　　図　-　3


　　　　　　　　　　�@　　球　　　の 　表 面 積 　の 求 め 方　 　(1)


　　　　　　　球 の 体 積 を 求 め た 方 法 を 参 考 にする
　
　　　　　　　球 の 中心 から 距 離　x の 点で切った 断 面 である 円 の半径 は　√(r² - x²) であるから、

　　　　　　　円 の 面 積 は　S (x) = π (r² - x²) となる。　

　　　　　　　よって 球 の 体 積　V は、 円 の 面 積 を　x 方 向 に 積 分 すると、

　　　　　　　　　　V = 　2 ∫₀ ^r　π ( r² - x² ) dx　より　、　　

　　　　　　　　V = 2 π 【 r² x - (x³ / 3) 】₀ ^r 　=　 (4/3) π r³　　　を　得 た。　



　　　　　　　　球 の 表 面 積 を求める方法も、体 積 を求めたと 同 様 に行ってみる。　図ー1　を　参 照

　　　　　　　　球 の 中心 から 距 離　の点で切った 断 面 である 円の円周 の L (x) 　=　 2 π√(r² - x²)　　となる　

　　　　　　　　円 周 の 長さ　L(x)　に沿って高さ　�凅　の 帯状の リング の 面 積 は　S_�凅 = 【 2 π √(r² - x²) 】�凅

　　　　　　　　　　　�凅　は　半 径 方 向　に 半 径　r を　n 等 分 　したもの �凅 = r / n　 とする

　　　　　　　　よって、球 の 表 面 積　S は、円 周 を　x 方 向 に 積 分 すると、
　
　　　　　　　　　　　　　S = 　2∫₀ ^r　2 π √ ( r² - x² ) dx　　より

　　　　　　　　x = r sin θ　と 置 換 すると、　 dx / dθ = r cos θ 　dx = r cos θ dθ

　　　　　　　　　　　　S = 4 π ∫₀ ^(π/2) √(r² - r² sin θ) r cos θ dθ


　　　　　　　　　　　　　　　　　◆　　行 間 　補　足

　　　　　　　　cos²θ + sin² θ = 1　 　cos² θ = 1 - sin² θ 　　　r ² cos² θ = r² ( 1 - sin² θ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　r cos θ = √( r² - r² sin² θ)

　　　　　　　　　 　　 S = 4 π ∫₀ ^(π/2) √(r² - r² sin² θ) √(r² - r² sin² θ) dθ　

　　　　　　　　　　　　　　　 = 4 π r² ∫₀ ^(π/2) (1 - sin² θ) dθ

　　　　　　　　　　　　　　= 4 π r² ∫₀ ^(π/2) cos² θ dθ　　　　　　　　　　　こ　の　行 間 補　足　終わり


　　　　　　　　　　　　　　　　　　◆　　行 間　 補　足　　

　　　　　　　　　　加 法 定 理　と　2 倍 角 の 定 理　より　　cos² θ = (1 + cos2θ) / 2


　　　　　　　　　　加 法 定 理　　　　　　sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α　sin β

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　cos (α ± β) = cos α cos β -+ sin α sin β

　　　　　　　　　　2 倍 角 の 定 理　　sin 2θ = 2 sin θ cos θ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　cos 2θ = cos² θ - sin² θ = cos² θ - ( 1 - cos² θ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　= 2 cos² θ - 1　　　　　　　　　こ の 行 間 補　足　終わり


　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　S = 【 4 π r² ∫₀ ^(π/2) ( 1 + cos 2θ) / 2 】dθ

　　　　　　　　　　　 　　　　　　S = 2 π r² 【 θ + ( sin 2θ) 】₀ ^(π/2) = π² r ²　　

　　　　　　　　　となり 、球 の 表 面 積 の 公 式、　　S　=　4 π r²　　と は　違 っ て しまう

　　　　　　　　　これは、円 周 の 長 さ を　x 方 向 に 積 分 するとときに、　を 微 小 増 加 させたときの 表 面 積 の

　　　　　　　　　変 化 量 が　x = 0 付 近 と　x = r 付 近 で 異 な り、　付 近 の 方 が 表 面 積 の 増 加 量 が

　　　　　　　　　大きい　ため　と　考えられる。


　　　　　　　◆　　補　足　　説　明 　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　


　　　　　　　　ちなみに、　半 径 を 10 等分 したときの 各 リング の 表 面 積 を 計 算 して

　　　　　　　　グラフ を 描 いて みました

　　　　　　　　　　　各 　リング の 表 面 積 の 変 化 量 が 一目 でわかりました


　　　　　　★　　追 記　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　球 の 表 面 積 　を 求 め る　


　　　　　　　◆　　スイカ を 36等 分 します　その 一 切 れ (右図)　の 皮 の 面 積 を 計 算 して

　　　　　　　　　　　　36 倍 して 全 表 面 積 とする

　　　　　　　　　　　　少　し 乱 暴 だが スイカ　皮　A B C を 3 角 形 と 見　なします

　　　　　　　　　　　　　　円 弧　A B　を　底 辺　　　　　　円 弧　A C　を　高 さ　とします

　　　　　　　　　　　　一 切 れ (右図)　の 皮 の 面 積　=　 (1/2) × 底 辺 × 高 さ

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　= (1/2) × ( 2πr / 18 ) × ( 2πr / 4 )

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　= (1/2) × ( πr / 9 ) × ( πr / 2 )

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　= π² r² / 36

　　　　　　　　　　　　36 切 れ　あるので　36 倍 し て　　 　　S = π² r²


　　　　　　　　　　　なぜか 、　球 の 表 面 積 の 公 式　を 積 分 で 求める際 に 積 分 の 仕方 を 直 径 方 向 にすると

　　　　　　　　　　　　　　　　誤 っ た 答 え　　S = π² r²　　と　同 じ　結 果 になりました


　　　　　　　
　　　　　　 　◆　　さらに 、　次 の ような　方 法 で　球 の 表 面 積 の 公 式　を 求めて みました


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　球 の 表 面 積　= 球 の 直 径 上 の 円 周 の長 さ　×　四 分 円 弧 ( 2πr / 4 )　として

　　　　　　　　　　球 の 表 面 積　=　 2πr　×　( 2πr / 4 )　= π² r²

　　　　　　ここでも、　なぜか 、　球 の 表 面 積 の 公 式　を 積 分で 求める際 に 積 分 の 仕方 を 直 径 方 向にすると

　　　　　　　　　　　　　　　　誤 っ た 答 え　　S = π² r²　　と　同 じ　結 果 になりました



　
　　　　　　　　　�A　　　球　　の 　表 面 積 　の 求 め 方　 　(2)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　表 面 積 の 変 化 量 が 一定 になるように、積分方向 を変えて、球 の 表 面 に沿って 積 分 する

　　　　　　　　図 において 円 周 を 球 の 表 面 に沿った　l　方向に積分　すると、

　　　　　　　　S = 2 ∫₀ ^r π√(r² -x²)dl　　より、　l = r θ　なので、　x = r sin θ　と 置 換 すると、　　　

　　　　　　　　　　　　S = 4 π r ² ∫₀ ^π/2 √( r² - r² sin² θ) r dθ　

　　　　　　 　 　　　　 = 4 π r ²∫₀ ^π/2 cos θ dθ　= 4 πr² 〔 sinθ〕 _{0 ^π/2} = 　4 πr²

　　　　　　　　　　　　となり、　球 の表 面 積 の公 式 　を 導 くことができる



　　　　　　　　　�B　　　球　　の 　表 面 積 　の 求 め 方　 　(3

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　図 の ような　コーン　( 円 錐 体 )　を考える。

　　　　　　　　　　　図 では、１ 個　しかないが、これが 球 面 上 に 密 集 しているように 沢 山 詰 め

　　　　　　　　　　込 ま れ ていると　想 像 してください。　 コーン　の 高 さ は　r　と　等 しいとします。

　　　　　　　　　　　　詰 め 込 ま れ た　コーン　の数を　n 個　とすると

　　　　　　　　　　　１個 の コーン の 底 面 積 を　　Sc　とすると、体 積 は　　Vc = (1/3) Sc r　となる

　　　　　　　　　　　　n　個 の コーン の 底 面 積 の 総 和　を　S　とすると　　　S = n Sc　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　体 積 の 総 和 　を　V　とすると　　　V = n Vc = n (1/3) Sc r　である

　　　　　　　　　　　　ここで、コーン の 底 面 積 の 総 和　　S = lim _n→∞　Σ n Sc ≒ 球 の 表 面 積　となる

　　　　　　　　　　　　一方、　コーン の 体 積 の 総 和　　V = lim _n→∞　Σ n Vc ≒ (1/3) S r = 球 の 体 積　となる

　　　　　　　　　　　　　　　　従って、球 の 表 面 積　　S　 と　体 積　　V　　 には、

　　　　　　　　　　　　　　　次 の 等 式　V = (1/3) S r　= (4/3)　πr³　が 成り立つ。

　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　よって、　 　　　　　S = 4 πr²　　　が 得られる










　　　　　　　　　�C　 　 球　　の 　表 面 積 　の 求 め 方　 　(3)


　　　　　　　　　　　　　　　　　球 の 表 面 に 図 に 示すように 微 小 面 積 を 考える。

　　　　　　　　　　　　　　　これを、二 重 積 分 　して 球 の 表 面 積 の 公 式 を 求める


　　　　　　　　　　　



　　　　　　　　　　　　　　二重積分、多重積分 は 高校時代　大学時代 に 勉 強 しませんでした。

　　　　　　　　　　　　　難 しそうなので 無 意 識 的 に 拒 絶 反 応 があったのでしょう。

　　　　　　　　　　　　　　　　高等数学 に 一歩 入った 感 じです。

　　　　　　　　　　　　　後 期 高 齢 者　8 0才 になってはじめて の 体 験、満 足 度　100　％ です

　　 　　◆　　付　録　−　1

　　　　　　　　球 の 体 積 と 表 面 積 と 同 じ 半 径 の 球 に 内 接 する 正多 面 体 の 体 積 と 表 面 積 を

　　　　　　　　計 算 して グラフ を 描 いて み ま ま す。　　　　

　　　　　　R　外接球の 半径　、　 r　内接球の 半径　、 　a_n　多面体一辺の 長さ　、　　V　体 積　、　　S　表 面 積

　　　　球　　　　 R 　　　　　　　　V = (4/3) π R ³ 　　　S = 4 π R ²

　　正 4 面体　　R = (√6/4) a₄　　r₄ = (√6/12) a₄　　V₄ = (√2/12) a³　　 S₄ = (√3/4) a₄²

　　正 ６ 面体　　R = (√3/2) a₆　　　r₆ = a₆ / 2　　　　　V₆ = a₆³ 　　　　　　 S₆ = 6 a₆ ²

　　正 ８ 面体　　R = a₈ / √2 　　　　r₈ = a₈ / √6 　　　V₈ = (1/3) √2 a₈ ³　　S₈ = 2 √3 a₈ ²

　　正 １２ 面体　R = a₁₂ ( √3 / 4 ) ( 1 + √5 ) 　 V₁₂ = (1/4) ( 15 + 7√5 ) a ³ 　　S₁₂ = 3 √(25 + (10√5) a ²

　　　　　 　　　　　　　正 12 面体 と 正 ２0 面体 の R の　公 式 が 見つかり ませんでした

　　　　　　　　　　　物 理 の かぎしっぽ　掲示板　に 問い合わせたら、その日に　Res 　ありました

　　正 ２０ 面体　R = ( a₂₀ / 4 ) √( 10 + 2 √5 ) 　　　V₂₀ = (5/12) ( 3 + √5 ) a ³　　　　　　S₂₀ =　5 √3 a ²

　　　　R = 10 　と　したとき　　a₄ = 16・32　　a₆ = 11・56　　a₈ = 14・14　　a₁₂ = 7・14　　a₂₀ = 10・5

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　体　積　　　　　　　　　　　面　積　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　球　　　　　　　　　V₀ = 4187　　　　　　　　　　S₀ = 1256

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正 4 面 体 　　　 　V₄ = 182　　　　　　　　　　　S₄ = 59

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正 ６ 面 体　　　　　V₆ = 1545　　　　　　　　　　S₆ = 822

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正 ８ 面 体　　　　　V₈ = 2329　　　　　　　　　　S₈ = 692
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正 １２ 面 体　　　　V₁₂ = 2756　　　　　　 　　　S₁₂ = 1038
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正 ２０ 面 体　　　　V₂₀ = 2547　　　　　 　　　　S₂₀ = 960

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　　上 記　計算値 をもとに、同 じ 半 径 の 球 に外 接 する 多 面 体 の 体 積 と 表 面 積 を グラフ に 描 いてみます




　　　　　　




　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　　



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正 多 面 体 は上 図 の 示す 5 種 類 しかありません

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正 ４ 面 体　　　　　　　　　　正 ３ 角 形　４　枚

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正 ６ 面 体　　　　　　　　　　正方 形　　　６　枚

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正 ８ 面 体　　　　　　　　　　正 ３ 角 形　８　枚

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正 １２ 面 体　　　　　　　　　正 ５ 角 形　1２　枚

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　正 ２０ 面 体　　　　　　　　　正 ３ 角 形　２０　枚








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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　紙 を 切 り抜いて 一 辺 が 4 センチ の 正多 面 体 を作ってみました



　　　　　　　　　　　　　　　　



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　素 材 の 拾 い集め とそ れの 理 解 にかなりの 日 数 を 使 い ました。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　少 しは、 頭 の 体 操 、認 知 症 予 防 に 役 立 った でしょうか。
　　
　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　こ の　ページ　の　Top　へ　　　　　　　



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　　　　　◆　　付　録　−　2　

　　球 の 表 面 積 を 区 分 求 積 法 で 求めて みます。

　　そして、直径方向 の 分割数 と 円周方向 の 分割数 を 変えた ときの　表 面 積 を

　　計 算 して　 グラフ 　を 描いて みます。


　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　上 図 、球 表 面 上 の 黄 色 い 四 角 の 微 小 面 積を　Sa とする。

　　　　　　　　　　　　　　　　タ テ　　　球 の 中 心 より 半径 方向 に　m　等 分 する　

　　　　　　　　　　　　　　　　ヨ コ　　　球 の 円周 方向 に　n　等 分 する

　　　　　　　　計 算 の 手 順　　半 球 を　m 個 の 平 面 で スライス して　m 個 の 円 柱 状 の 円 盤 を 作 る。

　　　　　　　　　　　　　　それぞれの、円 盤 の 円 周 の 表 面 積 を足 して、これを　2　倍　し　球 の 表 面 積 とする .


　　　　　　　　　　　　タ テ の 長 さ　　R dθ　= R (1/m) (π/2) = R (π/2m)　　　　　各　円 盤　 共 通

　　　　　　　　　　　　ヨ コ の 長 さ　　は 各 円 盤 毎 に半 径 が 違 う ので　　L₁・ L₂・ L₃ --- L_m 　として 計 算 する　

　　　　　　　　　　　 　　　　　R sin θ d Φ = (2π/n) R sin (k/2m) π　　k = 1、 2 、3 ---- m-1　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　d Φ = (2π/n) 　　　　d Φ　は 各 円 盤　共 通

　　　　　　　　　　　　　先ず 、各 円 盤 の 半 径　　　 r₁　 r₂ 　r₃ ------ 　r _m-1 、r_m 　　を 求 め る

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　r₁ = R sin (1/m) (π/2) = R sin (1/2m) π

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　r₂ = R sin (2/2m) π

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　r₃ = R sin (3/2m) π

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　−−−−−

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　r_m-1 = R sin [ (m-1) /2m ] π

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　r_m= R sin (m/2m) π = R


　　　　　　　　　　　　　　　　　L₁ = r₁ d Φ = (2π/n) R sin (1/2m) π 　　　

　　　　　　　　　　　　　　 　　　　L₂ = r₂ d Φ = (2π/n) R sin (2/2m) π

　　　　　　　　　　　　　　 　　　　L₃ = r₃ d Φ = (2π/n) R sin (3/2m) π

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　−−−−−

　　　　　　　　　　　　　　　　　L_m-1 = r_m-1 d Φ = (2π/n) R sin (m-1/2m) π


　　　　　　　　　　　次 に 、　各円 盤 の 円 周 上 の 表 面 積 を 求 め る

　　　　　　　　　　　　　　　　S₁ = ( タテの長さ × ヨコの長さ ) n = ( R dθ × R sin θ d Φ ) n

　　　　　　　　　　　　　　　　　　= R (1/m) (π/2) (2π/n) n R sin (1/2m) π

　　　　　　　　　　　　　　　　S₂ = R (1/m) (π/2) (2π/n) n R sin (2/2m) π

　　　　　　　　　　　　　　　　S₃ = R (1/m) (π/2) (2π/n) n R sin (3/2m) π

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　−−−−−

　　　　　　　　　　　　　　　　S_m-1 = R (1/m) (π/2) (2π/n) n R sin (m-1/2m) π

　　　　　　　　　　　従って、半 球 の 表 面 積 は　　　　S = S₁+ S₂ ＋S₃ ------＋ S_m-1

　　　　　　　　　　　　　　　　球　 の 　表 面 積 は　　　　　 　2 S　　と な る


　　　　　　ここで、 　　(m = 5 　　n = 18 )　・　　( m = 10　　n = 18 )　　・　　　( m = 15 　　n = 18 )

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(m = 20 　　n = 18)　　　　　(m = 30 　　n = 18)

　　　　　　としたとき の　、球 の表 面 積 を上 の区分求積法で 計 算 してm を変えたときの　グラフ を 描 いて みます


　　　　　　　　　●　　　　m = 5 　　n = 18　　　　R = 10　　のとき

　　　　　　　　　　　　　　　　　S₁ = R (1/m) (π/2) (2π/n) n R sin (1/2m) π

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　= 10(1/5) (π/2) (2π/18) 18 sin (1/10) π

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=π² ×10 ×0.309=98.6 × 0.309 = 30.47　　　sin (1/10) π =0.309

　　　　　　　　　　　　　　　　　S₂ =98.6 × 0.588 = 57.98　　　　　 S₃ = 98.6 × 0.809 = 79.77

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　S₄ = 98.6 × 0.951= 93.77 　　　　　

　　　　　　　　　　　よって、　球 の表 面 積 は　　S5 　= 　2 ( S_1　＋ S₂ ＋ S₃ ＋ S₄ ) 　=　574

　　　　　　　　　　　　　ちなみに、積 分 で 求 め た　球 の 表 面 積 は　S = 4π R² = 1256


　　　　　　　　　●　　　　m = 10 　　n = 18　　R = 10　　　　　のとき　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　S₁ = R (1/m) (π/2) (2π/n) n R sin (1/2m) π

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　= 10(1/10) (π/2) (2π/18) 180 sin (1/20) π

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　=π² ×10 ×0.156=98.6 × 0.156 = 15.38　　　sin (1/20) π = 0.156

　　　　　　　　　　　　　　　　　S₂ =98.6 × 3.09 = 30.47　　　　　 S₃ = 98.6 × 4.54 = 44.76

　　　　　　　　　　　　　　　　　S₄ = 98.6 × 5.88= 57.88 　　　　　S₅ = 98.6 × 7.07 = 69.71

　　　　　　　　　　　　　　　　　S₆ = 98.6 × 8.09 = 79.77　 　　 　 S₇ = 98.6 × 8.91 = 87.85

　　　　　　　　　　　　　　　　　S₈ = 98.6 × 9.51 = 93.77　 　　 　 S₉ = 98.6 × 9.80 = 96.63

　　　　　　　　　　　よって、　球 の表 面 積 は　　S10 = 2 ( S_1　＋ S₂ ＋ S₃ --- ＋S₉ ) = 1154


　　　　　　　　　●　　　　m = 15 　　n = 18　　R = 10　　　　　のとき　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　S15 = 2 ( S_1　＋ S₂ ＋ S₃ --- ＋S₁₄ ) = 1192

　　　　　　　　　　　　　　　m = 20 　　n = 18　　R = 10　　　　　のとき

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　S20 = 2 ( S_1　＋ S₂ ＋ S₃ --- ＋S₁₉ ) = 1206

　　　　　　　　　　　　　　　m = 30 　　n = 18　　R = 10　　　　　のとき

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　S30 = 2 ( S_1　＋ S₂ ＋ S₃ --- ＋S₂₉ ) = 1221



　　　　　　　　 　●　　　　　上 記 、 計 算 値 を 　グ ラ フ　 に 描 い て みました

　　　　　　　　　　　　 　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 この　グラフ　を　複 合　グラフ 　と 名 付 け ました

　　　　　　　　　　　　(　この クラフ は 複 数 の グラフ を �T枚 の グラフ に 重ね合わせ てあります　)

　　　　　　　　　　　　　　　　 ◆　　ヨ コ　軸　目 盛　　m　　　半 径 を m　等 分 し た 数

　　　　　　　　　　　　　　　◆　　左　タ テ　軸　目 盛　s (小)　　半径方向 に　m 等 分 した スライス リング の 個 々 の 面 積

　　　　　　　　　　　　　　　◆　　右　タ テ　軸　目 盛 S (大)　　m 等 分 した スライスリング 表面積 の 総和　= 球表面積 の近似値

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　スライスリング を　球　に 内 接 したとき　m 　を 増 していくと　S　は 斬 増 します

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　スライスリング を　球　に 外 接 したとき　m　 を 増 していくと　S　は 斬 減 します

　　　　　　　　　　　　尚　、　m 　および　n 　の 分 割 数 を　∞　にすると　　S は 　( 球 の 面 積 ) 　=　4πr²　　に 収 束 します



　　　　　　　　◆　　付　録　−　3

　　　　　　　　　　　　　　　発 見　　球 の 表面積 は 球 を 内接 した 円筒 の 表面積 に 等しいことに 気づきました

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図　ー　1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図　−　2

　　　　　　　　　　　●　　図　ー　1　において、　球 の 表 面 積 は　 　　S = 4 π R²

　　　　　　　　　　　　　　　　こ の 、　球 を 内 接 する 円 筒 の 表 面 積 は　　S = 円 周　×　高 さ　= 2 π R × 2 R = 4 π R²

　　　　　　　　　　　　　　　　となり 、球 の 表 面 積 と 等 し い。
　　　　　　　　　　

　

　　　　　　　　　　　●　　お 遊 び　　図　ー　2　において、　直 径　20 �p　の 球 状 の スイカ を 36 等 分 に 切り、その 一 切れ の
　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　体 積　と　皮 の 部分 の 面 積 を求めて、36 倍 して スイカ の 体 積 と 面 積 の 近似値 を求めてみます。

　　　　　　　　　　　　　　■　スイカ　一切れ の 体 積　　　少し 乱 暴 だが 三角錐 と　見 做 し　ます

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三角錐 の 体 積 は　　　　V = 1/3 ×　底 面 積　×　高 さ　= (1/3) S h

　　　　　　　　　　　　　　　　　　底 面 積　　O A = O B = 10 �p　　A B = 円 弧 の 長 さ　とします　= 2 π R / 18 = 62.8 / 18 = 3.48 �p

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三角錐 の 高 さ　は　　h = スイカ の 円 周 の 1/4 = 2 π R / 4 = 62.8 / 4 = 15.7 �p 　とする

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三角形 の 面 積　　　　S = √〔 s (s - a) (s - b) (s - c) 〕 　　　　s = (a + b + c) / 2 = 11. 74

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　S = √〔 11.74 (11.74 - 10) (11.74 - 10) (11.74 - 3.48) 〕 = √294 = 17 �p ²

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　スイカ 一 切 れ の 体 積　　　V = (1/3) × 17 × 15.7 = 89 �p ³

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　従って、　スイカ の 体 積 は　　　V = 89 × 36 = 3203 �p <sup>3

　　　　　　　　　　　　　　　　　球　の 体 積 の 公 式 で 計 算 すると　 V = (4/3)　π R 3 = (4/3) × 3.14 × 103 = 4187</sup>

　　　　　　　　　　　　　　　　　4187　−　3203　=　984　　　誤　差　(984 / 4187) × 100 = 　23.5 ％　　　　大きすぎます


　　　　　　　　　　　　　　　■　スイカ　一切れ の 皮 の　表 面 積

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図　−　2　の 三角形 　A B C 　を　2 等 辺　三角形 と 見 做 し ます

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A C = B C = 　スイカ の 円 周 の 長 さ の 1/4 とする　= 2 π R / 4 = 62.8 / 4 = 15.7 �p

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A B = 　扇　O A B 　の 円 弧 とする = 2 π R / 18 = 62.8 / 18 = 3.49 �p

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　S = √〔 s (s - a) (s - b) (s - c) 〕 　　　　s = (a + b + c) / 2 = 17.45

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　S = √〔 17.45 (17.45 - 15.7) (17.45 - 15.7) (17.45 - 3.49) 〕 = √746 = 27.3 �p ²　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　従って、　スイカ の 表 面 積 は　　　S= 27.3 × 36 = 983 �p <sup>2

　　　　　　　　　　　　　　　　　　球　の 　表 面 積 の 公 式 で 計 算 すると　　　S = 4 π R2　=　1256</sup>
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　1256　−　983　=　273　　　誤　差　(273 / 1256) × 100 = 21.7 ％　　　　これも大きすぎます


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　どうも 、 こ の 　お 遊 び　 は 　失 敗 　のようです
















　　　　★　　　　　　付 録−4　　　【大 発 見】
　　　　　　　


　　　　　　　　　　　　　　　


　　　　　円 筒 に 内 接 する 球 と 円 錐 において 面 白 い 関 係 を 発 見 しました　


　　　　　　　　　　　　　　　　　体 積　 と 　表 面 積　の　公 式　

　　　　　　　　　　　　円 錐　　　　　V = (1/3) S h = (2/3) πr³　　　　　S = ( 1 + .√5 ) πr²

　　　　　　　　　　　　 球　　　　　　V = (4/3) πr³ 　　　　　　　　　　　 　S = 4 πr²

　　　　　　　　　　　　円 筒　 　　　 V = 2 πr³　　　　　　　　　　　　　　　 S = 6 πr²


　　　　　　　　●　　　体 積 比　　　　円 錐　_“　球　_“　円 筒　= 　1_“　2_“　3

　　　　　　　　　　【 (2/3) πr³ 】　_“ 【 (4/3) πr³】 _“　【 2 πr³ 】 = (2/3) _“　(4/3) _“　2　= 1　２　3

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　きれいな　体 積 比　です


　　　　　　　　●　　　体 積 と 表 面 積 の 公 式　　　　　　大 発 見

　　　　　　　　　　“　体 積 の 公 式 を 微 分 すると 表 面 積 の 公 式 となる　“

　　　　　　　　　　　　円 錐　　　　dV / dr = 【 (2/3) πr³　】 ゜ = 2 πr² 　≠ 　S = ( 1 + .√5 ) πr²


　　　　　　　　　　　　　球　　　　　dV/ dr = 【 (4/3) πr³】 ゜ = 4 πr² 　= 　S

　　　　　　　　　　　　円 筒　　　　dV / dr = 【 2 πr³】 ゜ = 6 πr² 　=　 S

　　　　　　　　さらに　“　表 面 積 の 公 式　を 積 分 すると 体 積 の 公 式　となる　“

　　　　　　　　　　　　円 錐　　　　∫S dr = ∫₀ ^r 2 πr² dr = (2/3) πr³ 　= 　V

　　　　　　　　　　　　　　　　　球　　　　　∫S dr = ∫₀ ^r 4 π r² dr = (4/3)πr³ 　=　 V

　　　　　　　　　　　　円 筒　　　　∫S dr = ∫₀ ^r 6 πr² dr = 2 πr³ 　=　 V


　　　さらに　“　円筒 の 側 面 積 の 公 式　を 積 分 すると 内接球 の 体 積 の 公 式　となる　“

　　　　　　　　　　　　　∫S_h dr = ∫₀ ^r　4 π r² dr = (4/3) π r³ 　= 　V


　　　　　　　　驚 きました　体 積 と 表 面 積 の 公 式 が 微 分 と 積 分 で 導 かれるとは　

　　　　　　　　　　　この　発　見　は　公 式 を 並べて 眺 めて いる中 に 気 づ き ました


　　　　　　　　　摩 訶 不 思 議　ひとり　悦 に 入っております　


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