表面積体 積

  s - 31

H 25 05 07 Up

                                            
          2018 1 16  Input Test


   暇つぶし の 数学 お遊び、中学 高校時代 の 数学 の 復 讐 もまた楽 しい。  体操 認知症 予 防



       球面 積体 積 を求めるのは先に 体 積 を求める方法 を 理 解する のがよさそうです。


        の  体 積    


                    

               図 - 1                          図 − 2

    図 - 1 半 球 の体積、円 柱 の体積、円柱から 円錐 を切り取った 体積、と 円 錐 の体 積を 比 較 します


       半 球 の 体 積  =  (2/3) π r3    球 の 体 積  2 倍    (4/3) π r3

       図 - 2 で 示 す ように、 底 面 より 高 さ x の 断 面 の 円 の 面 積 は  π ( r2 - x2 )

              従って、 半 球 の 体 積 は 積 分 して
 
           V=  ∫0 r π ( r2 - x2 ) dx = π〔 r2 x - (1/3) x3 0 r
                              = π r3 - (1/3) π r3  =  (2/3) π r3

         球 
  2 倍 し て    (4/3) π r3     ( 心 配 あるので 参 上 )  と 覚 え る


     ■  円 柱 の 体 積 = 底 面 積 × 高 さ = π r2 × r = π r3


     ■  円 柱 から 円錐 を切り取った体 積 = π r3 - (1/3) π r3 =  (2/3) π r3  = 半 球 体 積

                   ガバリエ 定 理

           っ の 立 体 を、平 行 な 平 面 で切ったときの 切 り 口 の 面 積 がいつも 等しければ、

                 っ の 立 体 の 体 積 は 等しい。

          図 - 2 で 半 球線 の 断面積 と 円 柱 線 の 断 面 積 はともに、 π ( r2 - x2 )


       円 錐 の 体 積  =  (1/3) π r3         ( 詳 細 説 明 証 明 は 後 で )



★    錐 体   の   体 積  V 底 面 積 が S 高さ が h のとき V = (1/3) S h であることの 証 明 





                     

                   (1) は 底 面 積 S 高 さ h の 3 角 柱

               この 3 角 柱 は (2)  (3)  (4) の 3 個 3 角 錘


            3 角 柱 の 体 積 は   V = S h    3 角 錐 の 体 積 は   V3 = (1 / 3) S h


                     学 問 的 には ガバリエ定 理 があります
         
          【カヴァリエリ 原 理 】  Wikipedia より 一部 を コ ピー

         カヴァリエリ の 原 理 (カヴァリエリのげんり、Cavalieri's principle) は、面 積 体 積 に 関する

        一般的な 法 則 のひとつである。カヴァリエリ の 定 理、不可分の方法 (method of indivisibles)

        例えば 体 積 についての カヴァリエリ の 原 理 とは、大まかには  「切り口の面積が常に等しい2つの

        立体の体積は等しい」という
主 張 である。   カヴァリエリ17世紀 イタリア数 学 者
 

                     球体 積   [編 集]

                  

        2 つ の 立 体 の 切り 口 ( い 部 分 ) は  面 積  が 等しい。

       錐 体 の 体積 が柱 体の体 積 の 1/3 であることを知っていれば、カヴァリエリ 原 理 より

        の 体 積 を求める ことができる。

       図のように、半径 r の半球 A および、半径 r の円が底面で高さ r 円 柱から

        円 錐をくりぬいた立体 Bを考える。このとき、高さ c における A の切り口と B の切り口の面積は

       等しい 実際、A の切り口は、ピタゴラスの定理 より、半径が r2 - c2 平方根 である円であるから、

       その 面 積 は π(r2 - c2) であり、B の切り口は、半径 r の円から半径 c の 円を除いたものであるから、

          やはり  面 積 は   π(r2 - c2)   である。

        よって、 カヴァリエリ の 原理 より A の 体 積と B の 体 積 は等しい。B の体積は、πr3 - πr3/3 で

        あるから、半 径  r  の の 体 積 はその 2 倍 で   4πr3 / 3   と 求まる。


   円 錐  の 体 積 の

                            

                   図ー1                        図ー2
      

       図 - 1 を使って、 円 錐体 積 を 求める 

            錐 体体 積 は 底面積 S 高さ h とすると V = (1/3) S h  であることは 説 明 済 です


             図ー1 の 円 錐色 の 扇状錘 を 10個 一 杯 に 詰 め たと仮定します。

            扇状錘 の 底 面 は 2 辺 が r  円 弧 が θ = (2 π r) / 10

                 従って 底面積 は  S3 =  (1/2) r2 θ = (1/2) r2 (2π/10) = πr2 / 10 となる


              結局扇状錘 10 個 詰めたのだから S3 × 10 = ( / 10) 10 = πr2 = S

                               V = (1/3) S h


        図 - 2 を使って、 区 分 求 積 で 求める

             
円 錐 体 積 を求めるために、これに内接するそれぞれの 高さ L / N の N - 1 個 の

             
円 柱 に 分 割 して 体 積 を近 似 的 に求める。

                  
ここで、 N = 10 とすると

               
Vin = (L/10)π (R/10) 2 + (L/10) π (2 R/10) 2 +・・・・+ (L/10) π (9 R/10) 2

                 = (L/10) π (R/10) 2 ( 1 + 22 + 32 + ・・・・ + 92 )

                 = (1/103) π R 2 285  
 0.29 L π R 2 =0.29 SL (1/3) S L


             同 様 に、
外 接する 円 柱 に 分 割 して 体 積 を 近 似 的 に求める。

               
Vout = (L/10)π (R/10) 2 + (L/10) π (2 R/10) 2 +・・・・+ (L/10) πR 2

                   = (L/10) π (R/10) 2 ( 1 + 22 + 32 + ・・・・ + 102 )

                   =  (1/103)
L π R 2 385    0.39 L π R 2 =0.39 S L (1/3) S L

                    
                       (Vin + Vout) / 2 = ( 0.29 + 0.38 ) / 2
0.34 1 / 3

                    
N  を  にすれば    V = (1/3) S h  に 収 束 する



     
  積 分 で 求 め る


                定 積 分体 積

            座標空間中の、 a ≦ z b の範囲に置かれた立体図形を x y 平面に平行な平面 z = t で

           切断 したときの
断 面 積  S (t) とすると、この立体図形の 体 積 は、  V = ∫a b S (z) dz

                               

          a ≦ z ≦ b の範囲をn 等 分 し、凛 = (b - a) / n , k = 1、 2、 3 ・・・ ・n として、平面 z = a + k ・凛 で

         立 体 図 形 を 切 断 したときの 
断 面 積 は  S (a + k 凛)  です。

         このときの
切 断 面 を 底 面 とし、高 さ の 柱 体 Pk を考えると、Pk の体 積 は、

               S (a + k 凛)  で 与えられます。

         P1、 P2 ・・・・ Pn の
体 積 の総 和 : は、の 極 限 で 立 体 の 体 積 V  に 近づきます。

         よって、
区分求積法 により、 V = limn→∞ Σk=1 n S (a + k 凛) 凛 = V = ∫a b S (x) dx



        
例 1. 半 径r  の を 底 面 とし、高 さ h 円 錐体 積 を求 める。


        [解答]   底 面 の x y 平 面 上 に 置 か れ ているとして考えます。

        平 面  z = t で 円 錐 を切ったときの 断 面 の 円 の 半 径 を
r ´ として、rr ´ = h : (h - t)

                 ∴ 
r ´ = 【 (h - t) / h 】 r

         断 面 の 円 の 面 積 は、  S (t) = π 【 (h - t) / h 】2 r 2

        よって、
円 錐体 積 は、  V = 0 k  S (z) dz= ∫0 k π 【 (h - z) / h 】2 r 2 dz

                           = 【 (π r2) / h20 k (h2 - 2 h z + z2) dz

                           = 【 (π r2) / h2 】 【h2z - hz2 + (1/3) z30 k

                           = 【 (π r2) / h2 】 【h3 - h3 + (1/3) h3

                           =
   (1/3) π r2 h


 
 
        円 錐 に限らず、底面積S ,高さ h の 錐 体 では、 平面 z = t で 切 断 したときの 断 面 積

        【 (h - t) / h 】2
S で与えられるので、上記と同 じように 積 分 して、錐 体体 積 は  

                 V  =  (1/3) π r 2 h = (1/3)  S h  なります。


       の  表面 積  


                      
               図 - 1                 図 - 2                図 - 3


          @     の  表 面 積     (1)


       体 積 を 求 め た 方 法 を 参 考 にする
 
        の 中心 から 距 離 x の 点で切った 断 面 である 円 の半径 は √(r2 - x2) であるから、

       面 積 は S (x) = π (r2 - x2) となる。 

       よって 球 の 体 積 V は、 円 の 面 積 を x 方 向 に 積 分 すると、

          V =  2 ∫0 r π ( r2 - x2 ) dx より 、  

        V = 2 π 【 r2 x - (x3 / 3) 】0
r  =  (4/3) π r3   を 得 た。 



        表 面 積 を求める方法も、体 積 を求めたと 同 様 に行ってみる。 図ー1 を 参 照

        球 の 中心 から 距 離 の点で切った 断 面 である 円の円周 の L (x)  =  2 π√(r2 - x2)  となる 

        円 周 の 長さ L(x) に沿って高さ  の 帯状の リング の 面 積 は S = 【 2 π √(r2 - x2)

           
凅 は 半 径 方 向 に 半 径 r を n 等 分  したもの = r / n  とする

        よって、表 面 積 S は、円 周 を x 方 向 に 積 分 すると、
 
             S =  2∫0 r 2 π √ ( r2 - x2 ) dx  より

        x = r sin θ と 置 換 すると、  dx / dθ = r cos θ  dx = r cos θ dθ

            S = 4 π ∫0 (π/2)
√(r2 - r2 sin θ) r cos θ


                 ◆  行 間  補 足

        
cos2θ + sin2 θ = 1   cos2 θ = 1 - sin2 θ    r 2 cos2 θ = r2 ( 1 - sin2 θ)

                   
r cos θ = √( r2 - r2 sin2 θ)

             S = 4 π ∫0 (π/2) √(r2 - r2 sin2 θ) √(r2 - r2 sin2 θ) dθ 


                = 4 π r20 (π/2) (1 - sin2 θ) dθ

              = 4 π r20 (π/2) cos2 θ dθ           こ の 行 間 補 足 終わり


                  ◆  行 間  補 足  

          加 法 定 理 と 2 倍 角 の 定 理 より
  cos2 θ = (1 + cos2θ) / 2


          
加 法 定 理
      sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β

                         cos (α ± β) = cos α cos β -+ sin α sin β

          2 倍 角 の 定 理
  sin 2θ = 2 sin θ cos θ

                       cos 2θ = cos2 θ
- sin2 θ = cos2 θ - ( 1 - cos2 θ)

                                = 2 cos2 θ - 1         こ の 行 間 補 足 終わ


                    S = 【 4 π r20 (π/2) ( 1 + cos 2θ) / 2 】dθ

                  S = 2 π r2θ + ( sin 2θ) 0 (π/2) = π2 r 2  

         となり 、表 面 積 の 公 式、  S = 4 π r2  と は  っ て しまう

         これは、円 周 の 長 さ を x 方 向 に 積 分 するとときに、 を 微 小 増 加 させたときの 表 面 積

         変 化 量 が x = 0 付 近 と x = r 付 近 で 異 な り、 付 近 の 方 が 表 面 積 の 増 加 量 が

         大きい ため と 考えられる。


       ◆  補 足  説 明      

                    


        ちなみに、 半 径 を 10 等分 したときの 各 リング表 面 積 を 計 算 して

        グラフ を 描 いて みました

           各  リング表 面 積変 化 量 が 一目 でわかりました



        追 記 

                          

                      表 面 積  を 求 め る 


         スイカ 36等 分 します その 一 切 れ (右図) の 面 積 を 計 算 して

            36 倍 して 全 表 面 積 とする


            少 し 乱 暴 だが スイカ 皮 A B C を 3 角 形 と 見 なします

              円 弧 A B を 底 辺      円 弧 A C を 高 さ とします

            一 切 れ (右図) の 面 積 =  (1/2) × 底 辺 × 高 さ

                                 = (1/2) × ( 2πr / 18 ) × ( 2πr / 4 )


                                    = (1/2) × ( πr / 9 ) × ( πr / 2 )

                                    = π2 r2 / 36

            36 切 れ あるので 36 倍 し て
     S = π2 r2


           なぜか 、 表 面 積 の 公 式 を 積 分 で 求める際 に 積 分 の 仕方直 径 方 向 にすると

                誤 っ た 答 え  S = π2 r2  と 同 じ 結 果 になりました


       
          さらに 、 次 の ような 方 法 で 表 面 積 の 公 式 を 求めて みました


                      

      表 面 積 = 球 の 直 径 上 の 円 周 の長 さ × 四 分 円 弧 ( 2πr / 4 ) として

          表 面 積 =  2πr × ( 2πr / 4 ) = π2 r2

      ここでも、 なぜか 、 表 面 積 の 公 式 を 積 分で 求める際 に 積 分 の 仕方直 径 方 向にすると

                誤 っ た 答 え  S = π2 r2  と 同 じ 結 果 になりました



 
         A       表 面 積     (2)

                    

        表 面 積変 化 量 一定 になるように、積分方向 を変えて、 の 表 面 に沿って 積 分 する

        図 において 円 周 を 球 の 表 面 に沿った l 方向に積分 すると


        S = 2 ∫0 r π√(r2 -x2)dl  より、 l = r θ なので、 x = r sin θ と 置 換 すると、   

            S = 4 π r 20 π/2 √( r2 - r2 sin2 θ) r dθ 

              = 4 π r 20 π/2 cos θ 
= 4 πr2 sinθ0 π/2 =  4 πr2

            となり、  表 面 積 公 式  を 導 くことができる



         B       表 面 積     (3

                        

             の ような コーン ( 円 錐 体 ) を考える。

           図 では、1 個 しかないが、これが 球 面 上 に 密 集 しているように 沢 山 詰 め

          込 ま れ ていると 想 像 してください。  コーン の 高 さ は r と 等 しいとします。

            詰 め 込 ま れ た コーン の数を n 個 とすると

           1個 の コーン底 面 積 を  Sc とすると、体 積 は  Vc = (1/3) Sc r となる


            n 個 の コーン底 面 積 の 総 和 を S とすると   S = n Sc 

                        体 積 の 総 和  を V とすると   V = n Vc = n (1/3) Sc r
 である

            ここで、コーン底 面 積 の 総 和  S = lim n→∞ Σ n Sc の 表 面 積 となる

            一方、 コーン体 積 の 総 和  V = lim n→∞ Σ n Vc (1/3) S r = の 体 積 となる

                従って、表 面 積  S  と 体 積  V   には、

               次 の 等 式 V = (1/3) S r = (4/3) πr3 が 成り立つ。

                     よって、       S = 4 πr2   が 得られる










         C       表 面 積     (3)


                  の 表 面 に 図 に 示すように 微 小 面 積 を 考える。

               これを、二 重 積 分  して 表 面 積 の 公 式 を 求める



           



              二重積分、多重積分 は 高校時代 大学時代 に 勉 強 しませんでした。

             難 しそうなので 無 意 識 的 に 拒 絶 反 応 があったのでしょう。

                高等数学 に 一歩 入った 感 じです。

             後 期 高 齢 者 8 0才 になってはじめて の 体 験、満 足 度 100 %
です

       付 録 − 1

        体 積表 面 積 と 同 じ 半 径 の に 内 接 する 正多 面 体体 積表 面 積

        計 算 して グラフ を 描 いて み ま ま す。    

      R 外接球の 半径 、  r 内接球の 半径 、  an 多面体一辺の 長さ 、  V 体 積 、  S 表 面 積

         R         V = (4/3) π R 3    S = 4 π R 2

  正 4 面体  R = (√6/4) a4  r4 = (√6/12) a4  V4 = (√2/12) a3   S4 = (√3/4) a42

  正 6 面体  R = (√3/2) a6   r6 = a6 / 2     V6 = a63        S6 = 6 a6 2

  正 8 面体  R = a8 / √2     r8 = a8 / √6    V8 = (1/3) √2 a8 3  S8 = 2 √3 a8 2

  正 12 面体 R = a12 ( √3 / 4 ) ( 1 + √5 )   V12 = (1/4) ( 15 + 7√5 ) a 3   S12 = 3 √(25 + (10√5) a 2

             正 12 面体 と 正 20 面体 の R の 公 式 が 見つかり ませんでした

           物 理 の かぎしっぽ 掲示板 に 問い合わせたら、その日に Res  ありました

  正 20 面体 R = ( a20 / 4 ) √( 10 + 2 √5 )    V20 = (5/12) ( 3 + √5 ) a 3      S20 = 5 √3 a 2

    R = 10  と したとき  a4 = 16・32  a6 = 11・56  a8 = 14・14  a12 = 7・14  a20 = 10・5

                              体 積           面 積 

                             V0 = 4187          S0 = 1256

                   正 4 面 体      V4 = 182           S4 = 59

                   正 6 面 体     V6 = 1545          S6 = 822

                   正 8 面 体     V8 = 2329          S8 = 692
 
                   正 12 面 体    V12 = 2756          S12 = 1038
 
                   正 20 面 体    V20 = 2547          S20 = 960

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  上 記 計算値 をもとに、同 じ 半 径 の に外 接 する 多 面 体体 積表 面 積グラフ に 描 いてみます




      




                           



                   正 多 面 体 は上 図 の 示す 5 種 類 しかありません

                     正 4 面 体
          正 3 角 形 4 枚

                      正 6 面 体          正方 形   6 枚

                      正 8 面 体          正 3 角 形 8 枚

                      正 12 面 体         正 5 角 形 12 枚

                      正 20 面 体         正 3 角 形 20 枚








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                    を 切 り抜いて 一 辺 が 4 センチ の 正多 面 体 を作ってみました



                



                   素 材 の 拾 い集め とそ れの 理 解 にかなりの 日 数 を 使 い ました。

                   少 しは、 体 操認 知 症 予 防 に 役 立 った でしょうか。

  
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       付 録 − 2 

  
の 表 面 積 を 区 分 求 積 法 で 求めて みます。

  そして、
直径方向 の 分割数 と 円周方向 の 分割数 を 変えた ときの 表 面 積

  計 算 して 
グラフ  を 描いて みます。



       

             上 図 、球 表 面 上 の 黄 色 い 四 角 の 微 小 面 積を Sa とする。

                タ テ   球 の 中 心 より 半径 方向 に m 等 分 する 

                ヨ コ   球 の 円周 方向 に n 等 分 する


        計 算 の 手 順  半 球 を m 個 の 平 面 で スライス して m 個 の 円 柱 状 の 円 盤 を 作 る。

              それぞれの、円 盤 の 円 周 の 表 面 積 を足 して、これを 2 倍 し 表 面 積 とする .


            タ テ の 長 さ  R dθ = R (1/m) (π/2) = R (π/2m)     各 円 盤  共 通

            ヨ コ の 長 さ  は 各 円 盤 毎 に半 径 が 違 う ので  L1・ L2・ L3 --- Lm  として 計 算 する 

                 R sin
θ d Φ = (2π/n) R sin (k/2m) π  k = 1、 2 、3 ---- m-1   

                                                d Φ = (2π/n)     d Φ は 各 円 盤 共 通

             先ず 、各 円 盤半 径    r1  r2  r3 ------  r m-1 、rm   を 求 め る

                   r1 = R sin (1/m) (π/2) = R sin (1/2m) π

                   r2 = R sin (2/2m) π

                   r3 = R sin (3/2m) π

                       −−−−−

                   rm-1 = R sin [ (m-1) /2m ] π

                   rm= R sin (m/2m) π = R


                 L1 =
r1 d Φ = (2π/n) R sin (1/2m) π
   

                   L2 = r2 d Φ = (2π/n) R sin (2/2m) π

                   L3 = r3 d Φ = (2π/n) R sin (3/2m) π

                      −−−−−

                 Lm-1 = rm-1 d Φ = (2π/n) R sin (m
-1/2m) π


           次 に 、 各
円 盤 の 円 周 上 の 表 面 積 を 求 め る

                S1 = ( タテの長さ × ヨコの長さ ) n = ( R dθ × R sin θ d Φ ) n

                  = R (1/m) (π/2) (2π/n) n R sin (1/2m) π

                S2 = R (1/m) (π/2) (2π/n) n R sin (
2/2m) π

                S3 = R (1/m) (π/2) (2π/n) n R sin (3/2m) π

                      −−−−−

                Sm-1 = R (1/m) (π/2) (2π/n) n R sin (
m-1/2m) π

           従って、
半 球表 面 積 は    S = S1+ S2 +S3 ------+ Sm-1

                
球  の  表 面 積 は       2 S  と な る


      ここで、   (
m = 5   n = 18
) ・  ( m = 10  n = 18 )  
・   ( m = 15   n = 18 )

                   (m = 20   n = 18)     (m = 30   n = 18)

     
 としたとき の 、表 面 積 を上 の区分求積法で 計 算 してm を変えたときの グラフ を 描 いて みます


             m = 5   n = 18    R = 10  のとき

                 S1 = R (1/m) (π/2) (2π/n) n R sin (1/2m) π

                   = 10(1/5) (π/2) (2π/18) 18 sin (1/10) π

                   =π2 ×10 ×0.309=98.6 × 0.309 = 30.47   sin (1/10) π =0.309

                 S2 =98.6 × 0.588 = 57.98      S3 = 98.6 × 0.809 = 79.77

                        S4 = 98.6 × 0.951= 93.77      

           よって、 
表 面 積 は  S
5  =  2 ( S1 + S2 + S3 + S4 )  = 574

             ちなみに、積 分 で 求 め た 球 の 表 面 積 は S = 4π R2 = 1256


         
    m = 10   n = 18  R = 10     のとき     

                 S1 = R (1/m) (π/2) (2π/n) n R sin (1/2m) π

                   
= 10(1/10) (π/2) (2π/18) 180 sin (1/20) π

                   
=π2 ×10 ×0.156=98.6 × 0.156 = 15.38   sin (1/20) π = 0.156

                 
S2 =98.6 × 3.09 = 30.47      S3 = 98.6 × 4.54 = 44.76

                 
S4 = 98.6 × 5.88= 57.88      S5 = 98.6 × 7.07 = 69.71

                 
S6 = 98.6 × 8.09 = 79.77       S7 = 98.6 × 8.91 = 87.85

                 S8 = 98.6 × 9.51 = 93.77       S9 = 98.6 × 9.80 = 96.63

           よって、 
表 面 積 は  S10 = 2 ( S1 + S2 + S3 --- S9 ) =
1154


             m = 15   n = 18  R = 10     のとき     
                         S15 = 2 ( S1 + S2 + S3 --- S14 ) = 1192

               m = 20   n = 18  R = 10     のとき

                         S20 = 2 ( S1 + S2 + S3 --- S19 ) = 1206

               m = 30   n = 18  R = 10     のと


                         S30 = 2 ( S1 + S2 + S3 --- S29 ) = 1221




               上 記 、 計 算 値 を  グ ラ フ  に 描 い て みました

                 

                   この グラフ を 複 合 グラフ  と 名 付 け ました

            ( この クラフ は 複 数 の グラフ を T枚 の グラフ に 重ね合わせ てあります )


                   ヨ コ 軸 目 盛  m   半 径 を m 等 分 し た

                 左 タ テ 軸 目 盛 s (小)  半径方向 に m 等 分 した スライス リング の 個 々 の 面 積

                 右 タ テ 軸 目 盛
S (大)  m 等 分 した スライスリング 表面積 の 総和 = 表面積近似値

                       スライスリング を  に 内 接 したとき m  を 増 していくと S は 斬 増 します

                     スライスリング を  に 外 接 したとき m  を 増 していくと S は 斬 減 します

            尚 、 m  および n  の 分 割 数 を  にすると  S ( 球 の 面 積 )  = 4πr2  に 収 束 します



        ◆  付 録 − 3

               発 見  表面積内接 した 円筒表面積 に 等しいことに 気づきました

                         

                   図 ー 1                         図 − 2

           ●  図 ー 1 において、 表 面 積 は    S = 4 π R2

                こ の 、 内 接 する 円 筒表 面 積 は  S = 円 周 × 高 さ = 2 π R × 2 R = 4 π R2

                となり 、表 面 積 と 等 し い。

          

 

             お 遊 び  図 ー 2 において、 直 径 20 p の 球 状 スイカ を 36 等 分 に 切り、その 一 切れ の
      
                体 積 と 皮 の 部分 の 面 積 を求めて、36 倍 して スイカ体 積面 積近似値 を求めてみます。

              ■ スイカ 一切れ の 体 積   少し 乱 暴 だが 三角錐 と 見 做 し ます

                   三角錐 体 積 は    V = 1/3 × 底 面 積 × 高 さ = (1/3) S h


                  底 面 積  O A = O B = 10 p  A B = 円 弧 の 長 さ とします = 2 π R / 18 = 62.8 / 18 = 3.48 p

                     三角錐 の 高 さ は  h = スイカ の 円 周 の 1/4 = 2 π R / 4 = 62.8 / 4 = 15.7 p  とする

                     三角形 の 面 積    S = √〔 s (s - a) (s - b) (s - c) 〕     s = (a + b + c) / 2 = 11. 74

                                   S = √〔 11.74 (11.74 - 10) (11.74 - 10) (11.74 - 3.48) 〕 = √294 = 17 p 2

                   スイカ 一 切 れ の 体 積   V = (1/3) × 17 × 15.7 = 89 p 3

                   従って、 スイカ体 積 は   V = 89 × 36 = 3203 p 3

                  の 体 積 の 公 式 で 計 算 すると  V = (4/3) π R 3 = (4/3) × 3.14 × 103 = 4187


                 4187 − 3203 = 984   誤 差 (984 / 4187) × 100 =  23.5 %    大きすぎます



                スイカ 一切れ の  表 面 積

                   図 − 2 の 三角形  A B C  を 2 等 辺 三角形 と 見 做 し ます

                   A C = B C =  スイカ の 円 周 の 長 さ の 1/4 とする = 2 π R / 4 = 62.8 / 4 = 15.7 p

                   A B =  扇 O A B  の 円 弧 とする = 2 π R / 18 = 62.8 / 18 = 3.49 p

                       S = √〔 s (s - a) (s - b) (s - c) 〕     s = (a + b + c) / 2 = 17.45

                     S = √〔 17.45 (17.45 - 15.7) (17.45 - 15.7) (17.45 - 3.49) 〕 = √746 = 27.3 p 2 


                   従って、 スイカ表 面 積 は   S= 27.3 × 36 = 983 p 2

                  
 の  表 面 積 の 公 式 で 計 算 すると   S = 4 π R2 = 1256
 
                 1256 − 983 = 273   誤 差 (273 / 1256) × 100 = 21.7 %    これも大きすぎます


                        どうも 、 こ の  お 遊 び  は  失 敗  のようです
















          付 録−4   大 発 見
       


               


     円 筒 に 内 接 する 円 錐 において 面 白 い 関 係 を 発 見 しました 


                 体 積  と  表 面 積 の 公 式 

            
円 錐     V = (1/3) S h = (2/3) πr3     
S = ( 1 + .√5 ) πr2

          
   球      V = (4/3) πr3              S = 4 πr2

            円 筒
      V = 2 πr3                S = 6 πr2



        
   体 積 比    円 錐    円 筒 =  1 2 3

          【 (2/3) πr3 】  (4/3) πr3 【 2 πr3 】 = (2/3)  (4/3)  2 = 1 2 3

                    きれいな 体 積 比 です


        
   体 積 と 表 面 積公 式      大 発 見

          “ 体 積 の 公 式 を 微 分 すると 表 面 積 の 公 式 となる “

            円 錐    dV / dr = 【 (2/3) πr3 】 ゜ = 2 πr2  
 S = ( 1 + .√5 ) πr2


                  dV/ dr = 【 (4/3) πr3】 ゜ = 4 πr2  =  S

            円 筒    dV / dr = 【 2 πr3】 ゜ = 6 πr2  =  S

        さらに “ 表 面 積 の 公 式 を 積 分 すると 体 積 の 公 式 となる “

            円 錐    ∫S dr = 0 r 2 πr2 dr = (2/3) πr3  =  V

                 球     ∫S dr = 0 r 4 π r2 dr = (4/3)πr3  =  V

            円 筒    S dr = 0 r 6 πr2 dr = 2 πr3  =  V


   さらに “ 円筒 側 面 積 の 公 式 を 積 分 すると 内接
体 積 の 公 式 となる “

             
Sh dr = ∫0 r 4 π r2 dr = (4/3) π r3  =  V


        驚 きました 体 積表 面 積公 式微 分積 分 で 導 かれるとは 

           この 発 見 は 公 式 を 並べて 眺 めて いる中 に 気 づ き ました


         
摩 訶 不 思 議 ひとり  に 入っております 


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