数 学 論 証 問 題 の 勉 強
Youtube より
Youtube で 数 学 の 論 証 問 題 を 見 ました
京大 の 入 試 数 学 の 問 題 しばしば 論 証 問 題 が でるとのこと
むづかしい 問 題 なので 後で ゆっくり 勉 強 しようと 思 い メ モ して おきました。
問 題 ー 1 x + y + z = a ①
x 3 + y 3 + z 3 = a 3 ②
を 満 た す と き
「 ★ x y z の 少なく とも 一つ は a である 」 ことを 示 せ
補 足 説 明 は 青 字 で 追 記 します 黒 字 は 原 文 の まま
この 問 題 は 結 論 がわかっている ので 結 論 を 逆 算 で 導 けば よい
ちなみに、 x y z の 少なくとも 一つ が a である とあるが 二つ あるいは 三つ
あることはない も し あるとすれば ① と ② が 成立しない
で は 証 明 に 入 る
★ ⇔ x = a or y = a or z = a の 答えでは もんだいにならない
ここで ２次方程式 の 因 数 分 解 に 気づけば 次 に 進 める
x = 1 or 2 ⇔ (x - 1) (x - 2) = 0
★ ⇔ x = a or y = a or z = a
⇔ (x - a) (y - a) (z - a) = 0 を 示せば よい ⇒ 等 式 証 明
(左辺 ) = (x - a) (y - a) (z - a)
= x y z - a ( x y + y z +z x ) + a 2 ( x + y + z ) - a 3
= a
= x y z - a ( x y + y z +z x ) + a 3 - a 3
= x y z - a ( x y + y z +z x ) ⇔ ( 右辺 ) = 0
ここで x y z ＝ a ( x y + y z +z x ) であることを 証 明 する 必 要 がある
② の 条 件 から 導 く
② ⇔ x 3 + y 3 + z 3 = a 3 因 数 分 解 ⑧ ⑨
次 の 公 式 を 知らないと こ の 問 題 は ここで Stop
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⑨ 公式 x 3 + y 3 +z 3 - 3 x y z = ( x +y +z ) ( x 2 + y 2 + z 2 - x y - y z - z x )
= ( x + y + z ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) - ( x + y +z ) ( x y + y z + z x )
⑧ 公式 x 2 + y 2 +z 2 = ( x + y +z ) 2 - 2 ( x y + y z + z x )
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=( x + y + z ) ｛ ( x + y +z ) 2 - 2 ( x y+ y z + z x ) ｝- ( x + y + z ) ( x y+ y z + zx )
= ( x + y + z ) ( ( x + y +z ) 2 ) - 3 ( x + y + z ) ( x y + y z + z x )
x 3 + y 3 +z 3 - 3 x y z = ( x + y + z ) ( (x + y +z) 2 ) - 3 ( x + y + z ) ( x y + y z + z x)
① x + y + z = a ② x 3 + y 3 + z 3 = a 3 を代入すると
a 3 - 3 x y z = a ( a 2 ) - 3 a ( x y + y z + z x )
赤 青 字 は 消 せ る
従 っ て x y z = a ( x y + y z + z x )
よ っ て (x - a) (y - a) (z - a) = x y z - a ( x y + y z +z x ) ⇔ ( 右辺 ) = 0
が 証 明 で き た
こ の 問 題 は は ば 広 い 知 識 を 持ち合わせ ないと 解 け な い
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★ 因 数 分 解 の 公 式 2016. 1 .28 追 記
x 3 + y 3 + z 3 の 公 式
● 公 式 ①
( x 3 + y 3 + z 3 ) ÷ ( x + y + z ) の 展 開 式
▼ x 3 + y 3 + z 3 x 2 で 割 る
- ( x 3 + y x 2 + z x 2 )
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y 3 + z 3 - y x 2 - z x 2
▼ y 3 + z 3 - y x 2 - z x 2 y 2 で 割 る
- ( x y 2 + y 3 + z y 2 )
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z 3 - y x 2 - z x 2 - x y 2 - z y 2
▼ z 3 - y x 2 - z x 2 - x y 2 - z y 2 z 2 で 割 る
▼ - ( x z 2 + y z 2 + z 3 )
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- ( y x 2 + z x 2 + x y 2 + z y 2 + x z 2 + y z 2 )
従って
x 3 + y 3 + z 3 = ( x + y + z ) ( x 2 + y 2 + z 2 )
- ｛ x ( y 2 + z 2 ) + y ( x 2 + z 2 ) + z ( y 2 + x 2 )
尚 こ の 展 開 式 は 間 違 っ て いないが 、こ の 因 数 分 解 の 公 式 を
使って 上 の 論 証 問 題 は 解 け な い
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● 公 式 ②
a3 + b3 + c3 - 3abc = ( a + b + c ) ( a2 + b2 + c2 - ab - bc - c a ) の 証 明
【 解 説 】
この問題は、対称式の式変形 x3 + y3 = (x + y) 3 - 3x y(x + y) を使って式変形します。
この式変形が分からないという人は、
対称式のプリント http://www.hmg-gen.com/taisyousiki.pdf を見ておいてください。
【 証 明 】
a 3 + b 3 + c 3 - 3abc
= (a + b) 3 - 3 ab ( a + b ) + c 3 - 3 abc
▲ 対称式の式変形 x3 + y3 = を使った
= (a + b)3 + c3 - 3 ab ( a + b ) - 3 abc
▲ 順番を並び替えた
= A3 + c3 - 3 abA - 3 abc
▲ 見やすくするために a + b = A と置き換えた
= (A + c)3 - 3 Ac(A + c) - 3ab (A + c)
* A3 + c3 の方は対称式の式で変形、-3abA - 3abc の方は - 3 ab でくくった
= (a + b + c)3 - 3(a + b)c(a + b + c) - 3a b(a + b + c)
▲ A = a + b を代入した
= (a + b + c) ｛ (a + b + c)2 - 3(a + b)c + 3ab ｝
▲ (a + b + c) でくくった
= (a + b + c) (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca - 3ca - 3bc - 3ab)
▲ 展 開 し た
= (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - bc - c a)
▲整 理 し て証 明 終 了！
従って
a3 + b3 + c3 = ( a + b + c ) ( a2 + b2 + c2 - ab - bc - c a ) + 3 abc
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参 考 資 料 Yahoo Youtube My HP よ り
● 論 証 問 題 の 証 明 の 仕 方 ● 等 式 証 明 の 仕 方
● 三次 方程式 について ● 整 数 問 題大学入試数学の問題
● 因 数 分 解 の 公 式 ● 対 称 式
等 を 理 解 しておく 必 要 があります
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問 題 ー 2
α + β ＋ γ ＝ 3 αβ ＋ βγ + γα ＝ p
α β γ ＝ q
(1) p = q + 2 「 α β γ の 少なくとも 一つ は 1 」
⇔ (αー1) (βー1) (γー1) ＝ 0 ① を 示せば よ い
⇔ αβγー(αβ＋βγ+γα)＋(α+β＋γ)ー1＝ 0
⇔ αβγー p ＋ q ー 1＝ 0
⇔ αβγー (αβγ+ 2) + 3 - 1
αβγ と α β γ は 消えて ⇔ ー 2 + ３ ー 1 ＝ 0
(2 p = 3 の と き
「 α β γ は すべて 1 」
次 の 公 式 を 知って いるか いないか
A 2 + B 2 = 0 ⇔ A = B = 0
⇔ 「 α ＝ β ＝ γ ＝ 1 」
⇔ (α ー 1) 2 + (βー 1) 2 + (γ ー 1) 2＝ 0 ②
① と ② は 同 値 である
講 師 は (α ー 1) 2 + (βー 1) 2 + (γ ー 1) 2＝ 0 ②
こ の 式 を 等式変更 して p を 代 入 すれば よい
と いって 後 の 説 明 を 省 略 して 終 わった
② の 展 開 式 を 補 足 しました
(α ー 1) 2 ＝ α2 - 2 α + 1
(βー 1) 2 ＝ β2 - 2 β + 1
(γ ー 1) 2 ＝ γ2 - 2 γ + 1
こ の 3 式 の 合 計 ＝ 0
α2 + β2+ γ2 - 2 ( α+β+γ) + 3 = 0
α2 + β2+ γ2 の 因 数 分 解 ⇔ (α+β＋γ) 2 - 2 (αβ＋βγ+γα)
(α+β＋γ) 2 - 2 (αβ＋βγ+γα) - 2 ( α+β+γ) + 3 = 0
3 p q
3 2 + 2 p + 2 q = 9 - 2× 3 - 2× 3 + 3 ＝ 0
証 明 終 わ り
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