関数・級数 と グラフ・図 形

H・24・8　 Up　　 s - 44

　　　関 数 ・ 級 数 を グラフ ・ 図 形 化 してみると 直 間 的 で 理 解 しやすい。


★ 　級 数　　√n　；　√2　　√3　　√4　　√5　　√6　　√7　　√8　　√9　　√10


　　　　　　　√1　〓　1.000　　　　　　　　　　　 　　　　 √6　〓　2.449　　　浪人よ良く

　　　　　　　√2　〓　1.414　　一夜一夜　　　　　　　　√7　〓　2.645　　　風呂で死後　　　

　　　　　　　√3　〓　1.732　　人並みに　　　　　　　　√8　〓　2.828　　　にやにや

　　　　　　　√4　〓　2.000　　　　　　　　　　　　　　　　√9　〓　3.000　　　

　　　　　　　√5　〓　2.236　　富 士 山 麓　　　　 　　　√10〓　3.162　　　三つ色



　　　　　 　　　　　　　　　　　

　 √1 = 1.000　√3 = 1.732　√10 = 3.162　　　　　 　　　　√2-√1 = 0.414　√10-√9 = 0.162


　　　　　 　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　オオム　貝　　に　そっくり

　　ピタゴラス の 定 理 で √n がつぎつぎにできる　　sinθ1　=　1/√ 2 　=　0.71 　θ1　= 45°　　　　　



　　　　　　　　　　　　　ちなみに、平 方 根 の 和 を求めてみると

　　　　　　�煤�n〓 √1 + √2 + √3 + ・・・・・・ + √9 + √1 0 〓 22.466


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★　　フィポナッチ数列 ・黄金比 ・白銀比　についての 図 形


　　ここでは、黄金比 が 主 役 だが フィポナッチ数列 は 関係 が 深いので 前 座 に置き

　　　　　　　 　　白銀比は おまけ・ プレミアム としました。


　　●　フィポナッチ数 列　　　　　( 10 年前 に 載せた　フィポナッチ数列 )　参 照

　　　　　数 列　 ；　　 1 ・ 1 ・ 2 ・ 3 ・ 5 ・ 8 ・ 13 ・ 21 ・ 34 ・ 55 ・ 89 ・ 144

　　　　　　　　　　この　数 列 の 作り方　　ウツギ　産　(算)　の 例 で 説 明 します

　　　　　　　　　　ひとつがい　の　アサギ　が 毎 月 ひとつがい の ウサギ を 産 む

　　　　　　　　　　ただし、産まれた　ウサギは 2ｹ 月 後 から 産 み はじめる

　　　　　　　　　この　ひとつがい　の ウサギ と 以後 産まれてくる ウサギ の つがいが

　　　　　　　　　一年間 に産む つがい数 は　Total 144　つがい　となります

　　　　　　　　　そして、【 各 月 に 産まれるつがい 数 】 を 並べる と 上記 数 列 ができます


　　　　　　　　　　　　　　　　　【 フィポナッチ数列 の 特 徴 】

　　　　�@　　第二項 以降 の 各項 が 先行する　二つ の 項 の 和　によって 得られること

　　　　　　　　　　　1 + 1 〓 2　 　1 + 2 〓 3　 　2 + 3 〓 5　ーーーーー

　　　　　　　　　　第 n 項 のフィポナッチ 数 を　 Fn 　とすると　　　　

　　　　　　2つ の 初期条件 を持つ 漸化式　 　Fn〓 Fn-1 + Fn-2　　と表せる

　　　　　　　　　　F₂ 〓 F₁ + F₀　 　F₃ 〓 F₂ + F₁ 　　F₄ 〓 F₃ +F₂　−−−−

　　　　�A　　この数 列 の 隣り合う　二項間 の　比 が 黄金比 0.618　 に 近づいて いく

　　　　　　　　　　　1 / 1 ・　1 / 2 ・　2 / 3 ・　3 / 5 　−−　(√5−1) / 2 〓 0.618　　


　　　　　 　 　　　　


　　　　　　フィポナッチ数列は　1202年 に フィポナッチ 発行　の 『 算番の書 』 に あり


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　　　　●　　黄 金 比　　　　　　　 　　(　1　0年前　に　載せた　黄金比 )　参 照


前 記、フィポナッチ数列において隣り合う 2 項 間 の 比 が 黄金比・ 1.618　に近ずくことを揚げた

　　　　　　　　　黄金比 は 芸 術の 世 界 で �� 美 の 古典的 理 想�� 　といわれる

　　　　　　　　　【 黄 金 比　画 像 】　を 集めて みます　　見つけ次第　追加

　フィポナッチ 数列　黄金比　は　芸術 の 世界 か ら 自然界 の 動　・ 植　物の 世界いたる所に

　　　　　　　　　　　　　に 現れます

　　　　　　　　　　　

　　　　パルテノン 神 殿　　　　　　古代 ギリシャ アテネ　　　　　　レカミエ　世界一美しい女性

　　　　　　　　　　　

　　　　　　ピラミッド　　　　　　　　　　　　　　薔　 薇　　　　　　　　　　　　　　オオムガイ

　　　　　　　　　　　　　　　


　　　　●　黄 金 比　の　　説 明

　 　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　説 明 文　　2枚　コ ピー　拝 借　そのまま

　　　　　　　　　　　　　


　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　黄 金 長方形　　　　　正 5 角形 の 一辺 と 対角線 の 比 〓 黄 金 比


　　　　　　　▼　黄 金 長方形 での 説 明

　　　　　　　　　　一辺の長さ　1　の　a ・b ・c ・d　の 正方形

　　　　　　b - c　の 中点 　o　を 中心に 半径　o - d の 円 弧 を描き b - c の 延長線上 に e 点

　　　　　　　　　od² 〓 (1/2)² + 1² 〓 1/4 + 4/4 〓 5 / 4　　　∴　od 〓 √5 / 2

　　　　　　　　　ab ：be 〓 ａｂ ： (bo + oe) 〓 1 ： ｛1 + （√5）/2｝ 〓 1 ： 1.618



　　　　　　　▼　正 5 角 形 での 説 明　　

　　　　　　　　　　　　　一辺の長さ　1　対角線 の 長さ　xとする

　　　　　　　　　　　　　△　AFE △　ADF　は 相 似 なので

　　　　　　　　　AF ： AE 〓 AE ： AD 　　AF 〓 ( AD-FD ) 〓 ( x- 1 )　　　 AE 〓 1　　 AD 〓 x

　　　　　　　　 ( x- 1 ) ： 1 〓 1 ： x　　　　( x- 1 ) ・ x 〓 x² - x 〓 1　　　　 x²- x - 1 〓 0

　　　　　　　　　この　2次方程式の解　　x〓 ｛ 1+ √(1 + 4) ｝ / 2 〓 (1+√5) / 2 〓 1.618


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　　　　●　　黄 金 比　関 連　


　　　　　　　　　　　　　　　　以下、それぞれ　2次方程式 の 解 として 与えられる

　　　　　　　黄 金 比　　x² - x - 1 〓 0　　　　1　：　( 1 + √5 ) / 2　　　　　第 一 金 属 比

　　　　　　　白 銀 比　　　x² - 2x - 1 〓 0　　 　1 ： √2 　　　　　　　　　　　第 ニ 金 属 比

　　　　　　　青 銅 比　　　x² -3x - 1 〓 0　　　　1 ： ｛ ( 3 + √13 ) ｝ / 2　　 第 三 金 属 比

　
　　　　　　　　　　　▼　　白 銀 比　について

　　　　　　　　　　　　　白 銀 比 は 2 つ あります

　　　　　　1　　　1　：　1　+　√2　　　　　貴金属 比 の ひとつ　(第 二 貴金属 比)　

　　　　　　2　　　1　：　√2　　　　紙 の 寸法 などに用いられ、日本では 古くから 美しい比 とされる


　　　　　　　

　　　　　　　　法 隆 寺　　五 重 塔　　　　　　　　　　　　　　慈 照 寺 の 銀 閣

　　　　　　　　　　　　　　歴史的 建 物 にも 見られる ため 大 和 比 と 呼ばれる


　　　　●●●●●◆◆◆●●●●●★★★●●●●●◆◆◆●●●●●★★★●●●●●◆◆◆●●●●●●●●



　★　数 列　；　対 数　log₁₀ n 　の グラフ 化

　　　　　　　　　　　　但 し、　　ｎ 　〓　 1 ・ 2 ・ 3 　ｰーー　10　　の　自 然 数　とする

　この 問 題 も　″お遊 び　・　頭 の 体 操 ″( 認 知 症、痴 呆 症 予防 ) なので 説 明 の 展 開 は

　　　　敢えて、凝 り がたち に 組み立てて あります

　　　　　　　　　　　　　　　　　では、始めます。

　　　　　　　log₁₀ n　　 n 〓 1　から　 n 〓 10　の　10 ポイント を グラフ　 に 描 く とき

　【 頭 の 体操】 なので 対数表 を見ないでゆっくり 暗 算 で求め て グラフ に プロット します

　私は、幸いに 　log₁₀1　〓 0　　 log₁₀ 2　〓 0.3　　log₁₀ 10 〓 1 　を 忘れず 覚えて いたので

　　　　　　　　これを 頼りに 残 り の 7点 を 暗 算 で 求めます。

log₁₀ n　の　 3 点 を 忘れず にいたことを 振 り 返って みますと、

log₁₀1 〓 0 は　 a⁰ 〓 1　　指数関数 と 対数関数 は 裏・表 の 関係 にあるので 覚えやすい

log₁₀ 2　と　 log₁₀ 10　は　　log　計 算の 基点的 存在 なので 記 憶 から 消えない

　　電気関係 では　デシベル　　db〓 20 log₁₀ a/b　がよく使われます。

　　　　　　　　例えば、　　　a/b 〓 2 　　　a/b 〓 10　　のとき

20 log₁₀ 2 〓 20×0.3 〓 6　デシベル(db) 　　　　　20 ｌｏｇ₁₀ 10 〓 20×1 〓 20　デシベル

2倍 が 6 デシベル　　　　4倍 が 6 + 6 〓 12 db 　　　　　　8倍 が 6 + 6 + 6 〓 18　デシベル

10倍 が 20 デシベル　　100倍 が 20 + 2 0〓 40 db 　　　1000倍 が 20 + 20 + 20 〓 60 db

というように、対数 の 特徴 である　掛け算 が 足し算 に置き換え られ、また 桁 数 の 大きい 数 が

　　　　コンパク ト な 数 に 置き換え られます。

　　　　音 ( 音圧 ) の 大きさ　　　電気信号 の 大きさ　での 　デシベル 表 現

　　　　飛行機 の 騒 音80デシベル、 電気信号を 10万倍 増 幅 したとき 100 デシベル の 増 幅 という

　　　　　　　　　　　大分、脱 線 しました　では 本 題 の グラフ の プロット に 戻ります


　　�@�A�I　先ず、覚えていた 3 点 ( log₁₀ 1・ log₁₀ 2 ・ log₁₀ 10 ) 　を グラフ に プロット します

　　　　　　　次に、 残り　7点　を 順 次 プロット していく

　　　　　各点 の 推 計 は 対 数　log の 性質 ・ 特 徴 を 利用 してれぞれの 点 を 暗 算 で求めます。


�C　log₁₀ 4　と　log₁₀ 8　は　、　対 数　log　は　掛け算 が 足し算 に置き換え られることを 利用する　

　　log₁₀ 4 〓 log₁₀ 2×2 〓 log₁₀ 2 + log₁₀ 2 〓 0.3 + 0.3 〓 0.6　　グラフに 0.6 を プロット します

�G　log₁₀ 8 〓 log₁₀ 2×2×2 〓 log₁₀ 2+ log₁₀2+ log₁₀ 2 〓 0.3×3 〓 0.9　　　プロット　します

�D　log₁₀ 5　は　、　対 数　は　割り算 が 引き算 に 置き換え られることを 利用します。

　　　log₁₀ 5 〓 log₁₀10/2 〓 log₁₀ 10 - log₁₀ 2 〓 1 - 0.3 〓 0.7　　0.7　を　プロット　します

�B　log₁₀ 3　は　3　が 素 数 で 掛け算・ 割り算 に 分 解 できないので 前 後 2 点 より 推 計 する。

　　log₁₀ 3　は　 log₁₀ 2　と　 log₁₀ 4 　の 中 間 にあるので 平均値 の定理 ・ 配分法 で 推計する。

　　log₁₀ 3 〓 (log₁₀ 2 ＋ log₁₀4) / 2 〓 (0.3 + 0.6) / 2 〓 0.45　　　　⇒　0.47

　　グラフ が 直 線 であればこの 0.45 でよいが今までに プロット した グラフ の 全 容 を見ると


　　　やや、上に　凸　の 形 をしている。 そこで、目 の 子 で + α して 0.47 とする。


　　　　　　参　考　　　　　内挿法 ( Interpolation ) 　・　外挿法 ( Extrapolation )


　　ある、関数　数列　曲線　等 で　データ に 欠落 した部分 があるとき、 この データ を

　　　　　　　　　　　　補間、推定値 を求める

　　　�E　log₁₀6 〓 log₁₀ 2×3 〓 log₁₀ 2 + log₁₀ 3 〓 0.3 + 0.47 〓 0.77

　　　�H　log₁₀9〓 log₁₀ 3² 〓 2 log₁₀ 3 〓 2×0.47 〓 0.94　

　　　�F　log₁₀ 7　は　log₁₀3 と 同 様 に　3 が 素 数 なので 前 後 の 2点 　log₁₀ 6 　log₁₀ 8　より推計

　　　　　　　　　log₁₀ 7〓 (log₁₀ 6 + log₁₀ 8) / 2 〓 (0.77 + 0.9) / 2 〓 0.83


　　　　　　　　 　　　　　　　　以上 で 10 点 プロット できました

　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　【 きれいな　グラフ　　を　描 く　ことが できました 】


　　　　　　　　　　　　　お遊び、頭の 体 操 を 終わります


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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2014　11　12　　　　Input Test